Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 28

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 191 >> Следующая


Ч Мы предполагаем, что кривизной земной поверхности можно пренебречь-

70

Глава вторая

в точке О имеет вид /(г/л-, z/y) = 0 и что каждое уравнение этого вида представляет конус. [Если точка (х, у, г) лежит на конусе, to и точка (кх, Xy, Хг) должна лежать на нем при любом значении X.]

10. Линейчатые поверхности. Цилиндры и конусы являются частными случаями поверхностей, состоящих из прямых линий. Такие поверхности называются линейчатыми.

Следующие два уравнения

x—az + b, y = ez + d (1)

представляют пересечение двух плоскостей*, т. е. прямую линию. Предположим теперь, что а, Ь, с, d, вместо того, чтобы быть постоянными, являются

а

Фиг. 16

функциями некоторого вспомогательного переменного t. Для каждого частного значения t уравнения (1) определяют прямую линию. Когда t изменяется, эта прямая движется в пространстве и образует поверхность, уравнение которой может быть найдено исключением t из уравнений (1). Например, в примере 7 уравнениями прямой, которая образует коиус, являются

x=ztg-^cost, y = ztg^sint,

где t — угол между плоскостью XOZ и плоскостью, проходящей через прямую и ось г.

Другой простой пример линейчатой поверхности может быть построен следующим образом. Возьмем два сечеиия прямого круглого цилиндра, перпендикулярные его оси и отстоящие друг от друга на расстоянии / (фиг. 16а). Мы можем представить себе поверхность цилиндра состоящей из большого числа тонких параллельных жестких стержней длины I таких, как PC?; концы этих стержней прикреплены к двум кольцам радиуса а.

Возьмем теперь третье кольцо того же радиуса и наденем его на цилиндр так, чтобы оно находилось иа расстоянии h от одного из первых двух колец (см. фиг. 16а, где Pq = H). Раскрепим конец Q стержня PQ и повернем PQ вокруг P так, чтобы точку Q можно было закрепить на третьем кольце в положении Q'. Угол qOQ' = a на фигуре определяется из соотношения

P — hi = qQ'*= ^ 2а sin-|j2.

Повернем все стержни, из которых состоял цилиндр, таким же образом и на тот же угол. Мы получим линейчатую поверхность, форма которой

Функции действительного переменного 71

*) Эта поверхность является частью так называемого однополостного гиперболоида вращения. (Прим. перев.)

изображена на фнг. 166. Она полностью составлена из прямых линий, но всюду искривлена. По своему общему виду она напоминает некоторые кольца для салфеток (фиг. 16с)*).

РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ II

1. Показать, что если y = f (x) = (ax-{-b)j(cx— а), то x=f(y).

2. Если /(х)=/(—х) для всех значений х, то /(х) называется четной функцией. Если f(x) =—/(— х), то она называется нечетной функцией. Показать, что всякая функция от х, определенная для всех значений х, является суммой некоторой четной и некоторой нечетной функций от х.

[Использовать тождество

/ (X) = у {/ (X) + / (- X)} + у {/(X) -/(-X)}].

3. Начертить графики функций

3sinX4-4cosXy sin I—^-sinxj. (Экз. 1896 г.)

4. Начертить графики функций

/ « і г • « \ Sin X . , , , . , . I Sin X \a

sin x(a cos2 x4~?> s'fi2x), —— (a cos2 x-4-о sin2 x), \ x ) ¦

5. Начертить графики функций x ^-^J, .

6. Начертить графики функций

(1) arc cos (2х2 —1)-2 arc cos x,

(2) arc tg "^*x — arc tg a — arc tg x,

где символы arc cos a, arc tg а означают для любого а наименьший положительный (или нулевой) угол, косинус, соответственно тангенс, которого равен а.

7. Проверить следующий метод построения графика /{<р(х)} с помощью прямой у = х и графиков /(х) и <f(x): берем OA = X вдоль ОХ, проводим AB параллельно OY до пересечения с у = у(х) в точке В, ВС параллельно OX до пересечения су = х в точке С, CD параллельно OY до пересечения с y=f(x) в точке D и DP параллельно OX до пересечения с AB в точке Р. Тогда P является точкой искомого графика.

8. Показать, что корни уравнения х3 + рх 4- q = 0 являются абсциссами точек пересечения (отличных от начала) параболы у = xa и окружности

*8 +У + (P -i)y + gx=o.

9. Корни уравнения Xі-\-пх3-\~pxsqx-\-г = 0 являются абсциссами точек пересечения параболы Xі= у—2~пх и 0КРУЖН0СТИ

х>+у*+(±п*--2-Рп + тп + 1) х+{р-^-\п*)уЛ-г=Ъ-

10. Рассмотреть графическое решение уравнения

хт 4- ах2 4- Ъх 4- с = 0

72 Глава вторая

X+ (I-х)У^(2-X)

приближенно справедливо для всех значений х между 0 и 1. [Взять а: —0, 1112 5,

-о> -ъ-> -гг> -?-» -5- > 1 и использовать таблицы. Для каких из этих значе-O о Z о о

ний формула точна?]

20. Каковы формы графиков функций

г=[х] + ]у], г = х+у — [х] — [у]?

21. Каковы формы графиков функций

2 = sinA- + siny, Z=sinA-siny, 2 = SinA-y, Z = sin (Xі + у2)?

22. Геометрические построения иррациональных чисел. В гл. I мы

привели два простых геометрических построения длины, равной ]/2, при заданной еднвичвой длине. Мы показали также, как построить корни любого квадратного уравнения ах? + 2bx + с = 0, в предположении, что мы можем построить отрезки, длины которых равны отношению любой пары коэф-
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed