Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
2. Начертить кривые (х +у)2 = 1, ху=\, х%—у*=\.
3. Уравнение / (х, у) -f- Хер (х, у) = О представляет кривую, проходящую через точки пересечения кривых / = 0 и «р = 0.
4. Какие геометрические места представлены уравнениями
(a) x = a(+b, y = ct + d, (р)-? = _*^, |_=Iz^!( где t принимает все действительные значения?
33. Геометрические места в прострайстве. В пространстве трех измерений существует два принципиально различных класса геометрических мест, простейшими примерами которых являются плоскость и прямая.
5»
68
Глава вторая
Точка, движущаяся вдоль прямой линии, имеет только одну сте-пень свободы. Направление ее движения фиксировано, ее положение может быть полностью определено одним измерением, например, ее расстоянием от некоторой фиксированной точки прямой. Если мы возьмем за прямую нашу основную прямую Л из гл. I1 то положение любой ее точки будет определено единственной координатой x. Точка, движущаяся в плоскости, имеет, однако, уже две степени свободы. Для фиксации ее положения требуется определение двух координат.
Геометрическое место, представленное одним уравнением
z=/(x, у),
явно принадлежит ко второму из рассмотренных классов геометрических мест и называется поверхностью. Оно не всегда отвечает нашему обычному представлению о поверхности.
Рассмотрения п. 31 могут быть, очевидно, обобщены так, чтобы привести к определению функции f(x, у, z) от трех переменных (или функции от любого числа переменных). И так же, как мы-в п. 32 условились принять f(x, у) = 0 в качестве общей формы уравнения плоской кривой, мы уславливаемся здесь принять
/(х, у, z) = 0
за общую форму уравнения поверхности.
Геометрическое место, представленное двумя уравнениями вида z=f(x, у) или /(х, у, z) = 0, принадлежит к первому классу геометрических мест и называется кривой. Так, прямая линия может быть представлена двумя уравнениями вида Ах-\- By-\-Cz-\-D = 0. Окружность в пространстве может рассматриваться как пересечение сферы и плоскости, поэтому она может быть представлена двумя уравнениями видов
(jc — «)а -Ь СУ — P)* + — 7)" =* Ра. Ax + By + Cz + D=*0.
Примеры XIX. 1. Что представляется тремя уравнениями вида /(jf, jf, Z) = O?
2. Три линейных уравнения представляют, как правило, одну точку. Каковы исключительные случаи?
3. Каковы уравнения плоской кривой f (х, у) = 0 в плоскости XOY, если ее рассматривать как кривую в пространстве? [f(x, у) = 0, Z = O.]
4. Цилиндры. Каков смысл одного уравнения f(x, у) = 0, рассматриваемого как геометрическое место точек в пространстве трех измерений?
[Все точки на поверхности удовлетворяют уравнению f (х,у) = 0, каково бы ни было значение г. Кривая f(x, у) = 0, z = 0 является кривой, по которой наше геометрическое место пересекает плоскость XOY. Искомое геометрическое место представляет собой поверхность, образованную прямыми, проведенными параллельно OZ через все точки этой кривой. Такая поверхность называется цилиндром.]
5. Графическое изображение поверхности на плоскости. Можно подумать, что достаточно точного изображения поверхности на плоском рисунке получить невозможно. Однако весьма ясное представление о характере поверхности часто может быть получено следующим образом. Пусть уравнение поверхности будет 2 —/(х, у).
Функции действительного переменного
69
Если мы придадим z какое-нибудь значение а, то получим уравнение f (х, у) = а, которое можно рассматривать как определяющее плоскую кривую на бумаге. Начертим эту кривую и отметим ее значком (а). Фактически кривая (а) является проекцией на плоскость XOY кривой пересечения поверхности с плоскостью Z = а. Проделаем это для всех значений а (практически, конечно, для некоторых выбранных значений а). Мы получим некоторый чертеж типа, показанного на фиг. 15. Он напоминает географическую карту с нанесенными на ней линиями уровня. И действительно, такие карты строятся по этому принципу. Линия уровня 1000 является, например, проекцией на плоскость уровня моря сечения земной поверхности, плоскостью, параллельной плоскости уровня моря и проходящей на 1000 футов выше ее1).
6. Провести ряд линий уровня для иллюстрации формы поверхности 2г = 3ху.
Фиг. 15
7. Прямые круговые конусы. Возьмем начало координат за вершину конуса и ось z за его ось. Пусть а будет угол раствора осевого сечения конуса. Тогда уравнение конуса (который следует считать простирающимся в обе стороны от вершины) будет иметь вид
х*+у*-* tg*~ = 0.
8. Общие поверхности вращения. Конус примера 7 пересекает плоскость ZOX по двум прямым, уравнения которых объединяются в уравнении xi = zitgi~. Это означает, что уравнение поверхности, образованной
вращением кривой у = 0, x2 = z2 tg2-^- вокруг оси z, получается из второго
из этих уравнений заменой в нем х2 на Xі +у2. Показать, что, вообще, уравнение поверхности, образованной вращением кривой у = 0, x=f(z) вокруг оси z, имеет вид
Vx^Ty*= f (Z).
9. Общие конусы. Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через фиксированную точку, называется конусом, а эта точка — вершиной конуса. Частным случаем является прямой круговой конус, рассмотренный в примере 7. Показать, что уравнение конуса с вершиной