Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 27

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 191 >> Следующая


2. Начертить кривые (х +у)2 = 1, ху=\, х%—у*=\.

3. Уравнение / (х, у) -f- Хер (х, у) = О представляет кривую, проходящую через точки пересечения кривых / = 0 и «р = 0.

4. Какие геометрические места представлены уравнениями

(a) x = a(+b, y = ct + d, (р)-? = _*^, |_=Iz^!( где t принимает все действительные значения?

33. Геометрические места в прострайстве. В пространстве трех измерений существует два принципиально различных класса геометрических мест, простейшими примерами которых являются плоскость и прямая.



68

Глава вторая

Точка, движущаяся вдоль прямой линии, имеет только одну сте-пень свободы. Направление ее движения фиксировано, ее положение может быть полностью определено одним измерением, например, ее расстоянием от некоторой фиксированной точки прямой. Если мы возьмем за прямую нашу основную прямую Л из гл. I1 то положение любой ее точки будет определено единственной координатой x. Точка, движущаяся в плоскости, имеет, однако, уже две степени свободы. Для фиксации ее положения требуется определение двух координат.

Геометрическое место, представленное одним уравнением

z=/(x, у),

явно принадлежит ко второму из рассмотренных классов геометрических мест и называется поверхностью. Оно не всегда отвечает нашему обычному представлению о поверхности.

Рассмотрения п. 31 могут быть, очевидно, обобщены так, чтобы привести к определению функции f(x, у, z) от трех переменных (или функции от любого числа переменных). И так же, как мы-в п. 32 условились принять f(x, у) = 0 в качестве общей формы уравнения плоской кривой, мы уславливаемся здесь принять

/(х, у, z) = 0

за общую форму уравнения поверхности.

Геометрическое место, представленное двумя уравнениями вида z=f(x, у) или /(х, у, z) = 0, принадлежит к первому классу геометрических мест и называется кривой. Так, прямая линия может быть представлена двумя уравнениями вида Ах-\- By-\-Cz-\-D = 0. Окружность в пространстве может рассматриваться как пересечение сферы и плоскости, поэтому она может быть представлена двумя уравнениями видов

(jc — «)а -Ь СУ — P)* + — 7)" =* Ра. Ax + By + Cz + D=*0.

Примеры XIX. 1. Что представляется тремя уравнениями вида /(jf, jf, Z) = O?

2. Три линейных уравнения представляют, как правило, одну точку. Каковы исключительные случаи?

3. Каковы уравнения плоской кривой f (х, у) = 0 в плоскости XOY, если ее рассматривать как кривую в пространстве? [f(x, у) = 0, Z = O.]

4. Цилиндры. Каков смысл одного уравнения f(x, у) = 0, рассматриваемого как геометрическое место точек в пространстве трех измерений?

[Все точки на поверхности удовлетворяют уравнению f (х,у) = 0, каково бы ни было значение г. Кривая f(x, у) = 0, z = 0 является кривой, по которой наше геометрическое место пересекает плоскость XOY. Искомое геометрическое место представляет собой поверхность, образованную прямыми, проведенными параллельно OZ через все точки этой кривой. Такая поверхность называется цилиндром.]

5. Графическое изображение поверхности на плоскости. Можно подумать, что достаточно точного изображения поверхности на плоском рисунке получить невозможно. Однако весьма ясное представление о характере поверхности часто может быть получено следующим образом. Пусть уравнение поверхности будет 2 —/(х, у).

Функции действительного переменного

69

Если мы придадим z какое-нибудь значение а, то получим уравнение f (х, у) = а, которое можно рассматривать как определяющее плоскую кривую на бумаге. Начертим эту кривую и отметим ее значком (а). Фактически кривая (а) является проекцией на плоскость XOY кривой пересечения поверхности с плоскостью Z = а. Проделаем это для всех значений а (практически, конечно, для некоторых выбранных значений а). Мы получим некоторый чертеж типа, показанного на фиг. 15. Он напоминает географическую карту с нанесенными на ней линиями уровня. И действительно, такие карты строятся по этому принципу. Линия уровня 1000 является, например, проекцией на плоскость уровня моря сечения земной поверхности, плоскостью, параллельной плоскости уровня моря и проходящей на 1000 футов выше ее1).

6. Провести ряд линий уровня для иллюстрации формы поверхности 2г = 3ху.

Фиг. 15

7. Прямые круговые конусы. Возьмем начало координат за вершину конуса и ось z за его ось. Пусть а будет угол раствора осевого сечения конуса. Тогда уравнение конуса (который следует считать простирающимся в обе стороны от вершины) будет иметь вид

х*+у*-* tg*~ = 0.

8. Общие поверхности вращения. Конус примера 7 пересекает плоскость ZOX по двум прямым, уравнения которых объединяются в уравнении xi = zitgi~. Это означает, что уравнение поверхности, образованной

вращением кривой у = 0, x2 = z2 tg2-^- вокруг оси z, получается из второго

из этих уравнений заменой в нем х2 на Xі +у2. Показать, что, вообще, уравнение поверхности, образованной вращением кривой у = 0, x=f(z) вокруг оси z, имеет вид

Vx^Ty*= f (Z).

9. Общие конусы. Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через фиксированную точку, называется конусом, а эта точка — вершиной конуса. Частным случаем является прямой круговой конус, рассмотренный в примере 7. Показать, что уравнение конуса с вершиной
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed