Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 20

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 191 >> Следующая


J) Если B = O, то у не входит в уравнение. Мы должны тогда рассматривать у как функцию от х, определенную только для одного значения х, а именно, — CjA и принимающую тогда все значения.

4 Г. Харди

50

Глава вторая

факта из курса аналитической геометрии. Мы будем также говорить, что геометрическим местом точек (х, у) является прямая линия, что (1) является уравнением этого геометрического места и что это уравнение представляет данное геометрическое место.

Уравнение Ах-\-By-\-С = 0 является наиболее общим уравнением первого порядка от х и у. Таким образом, общее уравнение первого порядка представляет прямую линию. Так же легко доказать и обратное предложение, что уравнение любой прямой лишний— первого порядка.

Можно привести еще несколько дальнейших примеров интересных геометрических мест, определенных уравнениями. Уравнение вида

(х-а)« + (у-№ = р3,

или

х* +У +Ж* + 2Fy + С = 0,

где G^-J-F3—С^>0, представляет окружность. Уравнение

Ax1 -j- 2Нху -(- By4 -f- 2G* -j- 2Fy -}-С = 0

(общее уравнение второго порядка) представляет коническое сечение, т. е. эллипс, параболу или гиперболу, если коэффициенты этого уравнения удовлетворяют некоторым неравенствам. Исследование этих геометрических мест читатель найдет в книгах по аналитической геометрии.

22. Полярные координаты. Мы определяли положение точки P длинами ее координат OM = х, MP=у. Если ОР=г и MOP=Q, где 6 — угол, величина которого заключена между 0 и 2-х (измеряемый в положительном направлении), то, очевидно (фиг. 6),

x = r cos 6, у = г sin O1

откуда и

cos 6 = — , sin 0 = У-, г ' г '

так что положение точки P определяется также заданием гиб. Мы называем гиб полярными координатами точки Р. Следует отметить, что г, по определению, положительно 1^.

1J Полярные координаты иногда определяются так, что г может быть как положительным, так и отрицательным. В этом случае две пары координат,— как, например (1, 0) и (—1, к), — соответствуют одной и той же точке. Различие между двумя системами может быть проиллюстрировано на примере уравнения IJr=I—ecoso, где />0, е>1. Согласно нашим определениям, г должно быть положительно, и поэтому cos8<l/e, т. е. уравнение представляет только одну ветвь гиперболы, причем уравнение другой ветви будет — IJr=I — ecoso. В системе же координат, которая допускает отрицательные значения г, приведенное уравнение представляет всю гиперболу.

Функции действительного переменного

51

Если P движется по геометрическому месту, гиб будут связаны некоторым соотношением, г—/(6), или a = F (г). Это соотношение мы называем полярным уравнением геометрического места. Полярное уравнение может быть выведено из (х, у) уравнения (и обратно) с помощью приведенных выше формул.

Так, полярное уравнение прямой линии имеет вид

г cos (6 — а)=р,

гдер и а — постоянные. Уравнение r=2a coso представляет окружность, проходящую через начало. Общее уравнение окружности имеет вид

r24-c2— 2rccos(9 — а) = Л2, 0 х M "

где А, с я а — постоянные. Фаг. 6

23. Дальнейшие примеры функций и их графическое представление. Следующие примеры дадут читателю представление о бесконечном разнообразии возможных 'типов функций.

А. Полиномы. Полиномом от х называется функция вида

a0*m + a1*'"-> + ... + am,

где а0, (z1,..., ат — постоянные. Простейшими полиномами являются степени у = х, Xі, jc3,..., х"1. График функции хт принадлежит к одному из двух типов, в зависимости от того, будет ли т четным или нечетным.

Рассмотрим для начала случай т = 2. Тогда на графике лежат следующие три точки: (0, 0), (1, 1), (—1, 1). Любое количество других точек на графике может быть найдено, если придавать х частные значения; так, значениям

X == "2~> 2, 3, г, , 2, 6 соответствуют значения

у = \, 4, 9, 4, 9.

Если читатель нанесет на бумаге достаточное количество точек графика, он придет к заключению, что форма графика должна иметь вид, изображенный на фиг. 7. Если он проведет кривую через те точки, про которые ему известно, что они лежат на графике, и затем будет проверять правильность этой кривой путем вычисления новых точек, то он убедится, что они ложатся настолько близко к кривой, насколько это можно было ожидать, учитывая неизбежные неточности, связанные с черчением. Кривая эта, конечно, является параболой.

4*

52

Глава вторая

Существует, однако, один принципиальный вопрос, на который мы еще не можем дать удовлетворительного ответа. Читатель, несомненно, имеет некоторое представление о том, что называется непрерывной кривой, кривой без разрывов и скачков. Такая кривая представлена на фиг. 7. Вопрос состоит в том, является ли график функции у = х% в действительности такой кривой. Этого нельзя доказать путем построения какого бы то ни было числа изолированных точек на кривой, хотя чем больше таких точек мы построим, тем вероятнее это будет казаться.

Этот вопрос не может быть рассмотрен до гл. V. Там мы подвергнем подробному анализу понятие непрерывности и покажем,
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed