Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
как может быть доказано, что такие графики, как только что рассмотренный и другие, которые будут рассмотрены дальше в этой главе, действительно являются непрерывными кривыми. Пока читатель может продолжать вычерчивать свои кривые так, как ему диктует его здравый смысл.
Легко видеть, что кривая у = Xі всюду выпукла к оси х. Пусть P0, Pi (см. фиг. 7) — точки (х0, х%), (хи х\). Тогда координатами точки на хорде P0Pi будут числа X = Xx0 -4- ^x1, у = Хлг2 -\- [j.jcf, где X и jj. — положительные числа с суммой, равной единице. Следовательно,
у — X2 = (X + V) (Ixl + V-xl) - (Ix0 + [xx1)2 = Х(>. (X1 - X0)- О,
так что хорда лежит целиком иад кривой.
Кривая у = Xі в общем напоминает у = х1, но оказывается более плоской вблизи начала и более крутой за точками А, А' (фиг. 8). Кривая у = хт, где т — четное и больше 4, обладает этими свойствами в еще большей степени. Когда т становится все большим и большим, сплющенность около начала и крутизна около точек А, А' становятся все более и более подчеркнутыми, пока кривая практически не станет неотличимой от жирной ломаной на фиг. 8.
Читатель должен далее перейти к рассмотрению кривых, данных уравнением у = хт, где т— нечетное число. Основное отличие между случаями четного и нечетного заключается в том, что при т четном (—х)т = хт, так что кривая симметрична относительно OY, тогда
Фиг. 7
как при т нечетном (— х)"
X , так что_у отрицательно, когда х
отрицательно. На фиг. 9 изображены кривые у==х, у== х3 и ломаная, к которой у = хт приближается при больших нечетных значениях т.
Теперь легко представить себе (во всяком случае теоретически) построение графика любого полинома. В первую очередь, из графика у = хт мы сейчас же получим график функции Схж (С-
Функции действительного переменного
53
постоянная) умножением ординаты каждой точки кривой на С. А если мы знаем графики f(x) и F(x), то мы можем получить график f(x)-j-F(x), строя точки, имеющие своими ординатами сумму ординат соответствующих точек первоначальных кривых.
¦У'Х
Фиг. 8 Фиг. 9
Вычерчивание графиков полиномов, однако, настолько упрощается прн использовании других более совершенных методов, с которыми мы ознакомимся позже, что в настоящий момент мы можем ограничиться лишь этими немногими замечаниями.
Примеры XI. 1. Вычертить кривые у = 7х*, у = 3х*, jc=y10. [Читатель должен вычертить эти кривые аккуратно и на одном чертеже Ч. Тогда он наглядно убедится в том, насколько быстро высшие
степени X возрастают, когда х становится все большим и большим, а также в том, что в таких полиномах, как
х^ + Зх^ + Іх1
(или даже X10 -f- 30jc5 -f- 700jc*) только первый член имеет действительно доминирующее значение, когда х достаточно велико. Так, например, даже когда X равно только 4, jc1» > 1 ООО ООО, тогда как ЗОлг5 < 35 ООО и 700jc*< 180000. При Jc = IO перевес первого члена еще более значителен.]
2. Сравнить между собой значения
X12, 1 000 000 Xі, 1 000 000 000 000 л-
при л: = 1, 10, 100 и т. д.
[Читатель должен самостоятельно составить ряд примеров этого типа. Идея относительной скорости роста различных функций от х будет встречаться нам в дальнейших главах очень часто.]
3. Начертить график функции ojc8 + Ьх + с. [Здесь
ас — д* ( , ЬУ
Ч Удобно взять масштаб вдоль оси у значительно меньшим, чем вдоць. оси х, ина.че чертеж примет очень громоздкие размеры,
54
Глава вторая
Если мы возьмем новые оси параллельными старым и проходящими через (ас_Ь*)
точку X =— bja , у = --- —,то новое уравнение будет у' = ах'2. Кривая является параболой.]
4. Начертить кривые у = х3 — Зх + 1» У = х° [х — 1), у = х (х — I)2.
24. В. Рациональные функции. Классом функций, следующим после полиномов по простоте и значимости, является класс рациональных функций. Рациональной функцией называется отношение двух полиномов; таким образом, если Р(х), Q (jc)— полиномы, то
является самой общей рациональной функцией.
В частном случае, когда Q (х) — константа, R (х) сводится к полиному. Следовательно, класс рациональных функций содержит класс полиномов как подкласс. В связи с этим определением нужно сделать следующие замечания.
(1) Мы будем, как правило, предполагать, что P (х) и Q (х) не имеют общего делителя вида х-\-а или х?«-)-axP~l-f-bxP~s-j- ...-)-k; все такие общие делители мы устраняем сокращением.
(2) Следует, однако, отметить, что такое сокращение общих делителей, вообще говоря, изменяет функцию. Рассмотрим, например, функцию х/х, которая является рациональной функцией. Сокращая на общий делитель х, мы получаем 1/1 = 1. Но первоначальная функция не всегда равна 1: она равна единице только для всех хфО. Если jc = 0, она принимает вид О/О, что не имеет смысла. Таким образом, функция х/х равна 1, если хфО, и не определена при jc= 0. Она, следовательно, отлична от функции 1, которая всегда равна 1.
(3) Такая функция, как
1 , 1
jc+1 1 х— 1 1 , 1
может быть приведена, по правилам алгебры, к виду
Xі (X — 2) I)2 (Х+ I)'
