Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
который представляет рациональную функцию в обычной записи. Но и здесь следует отметить, что сведение это не всегда законно. Для того чтобы вычислить значение функции для какого-нибудь данного значения х, мы должны подставить это значение jc в функцию в той форме, в которой рна задана. В данном случае формула, первоначально задающая функцию, теряет смысл при значениях jc = — 1, 1, 0, 2, и, следовательно, функция не рпредедена для этих значений. Приведенная форма также теряет смысл при jc = — 1 и 1, но дает значение 0 при х = 0 и х = 2. Таким образом, эти две функции опять-таки не тождественны.
(4) Однако, как уже видно из примера, рассмотренного в предыдущем Замечании, существует, вообще говоря, некоторое множество значений х,
Функции действительного переменного
55
для которых рациональная функция не определена, даже после ее приведения к стандартному виду отношения двух полиномов. Это — те значения х (которые могут и не существовать), для которых знаменатель обращается в нуль.
(5) Имея дело с выражениями, рассмотренными в (2) и (3), мы обычно не обращаем внимания на те исключительные значения х, для которых алгебраические процессы упрощения, примененные выше, становятся незаконными, и приводим нашу функцию к стандартному виду рациональной функции. С такой оговоркой читатель легко убедится в том, что сумма, произведение и отношение двух рациональных функций могут быть сведены к рациональным функциям стандартного вида. И вообще, рациональная функция от рациональной функции является вновь рациональной функцией, т. е. если в z = Q^y-» гДе P (у) я Q (У) — полиномы, подставить
P1 (х) , Ps(x)
V = , , то после упрощений мы получим равенство вида z = -п '-.
Ql (X) Qa(X)
(6) В определении рациональной функции никоим образом не предполагается, что константы, встречающиеся в ней в качестве коэффициентов, должны быть рациональными числами. Термин „рациональный" относится только к тому, каким образом переменное х входит в формулу, определяющую функцию. Так,
х* + х + У~3 х3У 2 —г.
— рациональная функция.
Применение термина „рациональный" возникло следующим образом. Р(х)
Рациональная функция q может быть получена конечным числом
действий над х, включающих только умножение х на самого себя или на константу, сложение таким образом полученных выражений и, наконец, деление одной функции, полученной такими умножениями и сложениями, на другую. В отношении х этот процесс очень напоминает тот, которым все рациональные числа могут быть получены из единицы; этот процесс может быть проиллюстрирован равенством
5_і+і+і+г+і
3" 1 + 1 + 1
С другой стороны, всякая функция, которая может быть получена из х описанными выше действиями, примененными к функциям, которые были получены таким же образом, может быть сведена к стандартному виду рациональной функции. Так, например,
л- 2.V + 7
-v2+1 ., ^x-3JCi. Х'+ ' Qx+ 1
может быть сведена к стандартному виду рациональной функции.
56
Глава вторая
25. Графическое изучение рациональных функций зависит еще в большей степени, чем в случае полиномов, от методов дифференциального исчисления. Поэтому мы ограничимся здесь лишь небольшим числом примеров.
Примеры XII. 1. Начертить графики у = ~ , у = і, у = ~, ... .
[На фиг. 10 и 11 показаны первые две из эгих кривых. Следует обратить внимание на то, что эти функции не определены при jc = 0.] 2. Начертить графики
V = x + ~, х— -, *s + p. Xі — -a, ах + --, беря для а и Ъ разные (положительные и отрицательные) значения.
y-1/x
Фиг. 10
Фиг. 11
3. Начертить графики:
_Х+\ (Х+1\* 1 л"2 + 1
лг—1' \x-lj' (х—1)2' х3—1' 4. Начертить графики:
1 1
v =,—
v =
(х—а)(х— Ь) (х— а)(х—Ь)(х— с)
где а < Ь < с.
5. Набросать форму кривых у =-^-при все большем и большем «(,рассматривая отдельно случаи нечетных и четных т.
26. С. Явные алгебраические функции. Следующим важным классом функций являются явные алгебраические функции. Это — функции, которые могут быть образованы из х С помощью конечного
Функции действительного переменного
57
числа операций, применяемых при образовании рациональных функций, и конечного числа операций извлечения корней. Так
у\+х+уТ^х \ ху2—ъ j
могут служить примерами явных алгебраических функций; другим
Пі~-
примером является хт/п (т. е. у хт), где тип — произвольные целые числа.
Следует отметить, что в таких уравнениях, как, например, у = У х, обозначения неоднозначны. До сих пор мы рассматривали, скажем У 2, как положительный корень из двух, и было бы естественно обозначать через Ух, где X—любое положительное число, положительный квадратный корень из х. В этом случае у = \Пс была бы однозначной функцией от х. Часто оказывается, однако, более удобным понимать под Ух двузначную функцию, имеющую своими значениями положительный и отрицательный корень квадратный из х.
Читатель заметит, что если принять это толкование обозначений, то функция У X существенно отличается от рациональных функций в двух отношениях. Во-первых, рациональная функция всегда определена для всех значений х, за некоторыми изолированными исключениями, тогда как функция Ух не определена для целой области значений X (именно для всех отрицательных значений). Во-вторых, эта функция для тех значений х, для которых она определена, имеет,
