Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 23

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 191 >> Следующая


как правило, два значения противоположных знаков.

з,-

C другой стороны, функция у X однозначна и определена для всех значений х.

Примеры XIII. 1. У (X — а)(Ь — х), где а < Ь, определен только для о =? X ^ Ь. Когда а < х < Ь, корень имеет два значення; при jc = а или Ь — только одно, а именно, 0.

2. Рассмотреть подобным образом функции

У(х — o)(jc — Ь)(х — с) (а<Ь<с),

У jc(jc2- а2)", у (х-a?(b~х)$ (а < Ь), у-Т+х- у 1=х уТТу=.

jc .

У 1+х+у 1-х

3. Начертить кривые у2 с= х, у3 = х, ys = х3.

4. Начертить графики функций у = У~а? — х2, у = b |/ 1 — ^,-.

58

Глава вторая

27. D. Неявные алгебраические функции. Легко проверить, что если

у __3__>

У l+x + yi —х

то

\1-у) (1-Х)2'

а если

у== Vx^ Ух + Ух,

то

У —(4ys + 4y + l)jc = 0. Каждое из этих уравнений имеет вид

У"+ Я^*-'+ ... + *„ = О, (1)

где R1, R2, .... Rm — рациональные функции от х. Читатель легко убедится в том, что если у — любая из функций, рассмотренных в последнем ряде примеров, то у удовлетворяет уравнению такого вида. Возникает предположение, что это имеет место для любой явной алгебраической функции. Нетрудно доказать, что это предположение справедливо, но мы не будем здесь задерживаться на проведении его формального доказательства. На следующем примере читатель ясно увидит, как такое доказательство проходит. Пусть

у, х + Ух + Ух + Ух+уї+х X — Ух + / X+ У X — уГ+х

Тогда

X -f и 4- V + w

v =-¦--¦- ,

X — U-\-V — W

iiі = x, vі = x -f- u, w3 = 1 -f- х>

и нам остается только исключить из этих уравнений и, v, w для того, чтобы получить уравнение искомого вида.

Таким образом, мы приходим к следующему определению: у является алгебраической функцией от х степени т, если оно является корнем уравнения степени т от у с коэффициентами, являющимися рациональными функциями от х. Не нарушая общности, мы можем предположить, что старший коэффициент, как в (1), равен единице.

Этот класс функций содержит все явные алгебраические функции, рассмотренные в п. 26. Но он также содержит другие функции, которые не могут быть выражены как явные алгебраические функции, ибо известно, что в общем случае такое уравнение, как (1), не может быть разрешено в явном виде относительно у, когда т ^> 4, хотя такое решение всегда возможно для яг==1, 2, 3 или 4 и в частных случаях для высших значений т.

Функции действительного переменного 59

Определение алгебраической функции следует сравнить с определением алгебраического числа в предыдущей главе (Разные примеры, 36).

Примеры XIV. 1. Если w=I, у является рациональной функцией.

2. Если т = 2, уравнение имеет вид у2 -f- R,y + Ri — Oi так что

V = -J {-Яі ± VW1^Rs ) -

Эта функция определена для всех значений х, для которых /??^&4/?2. Она имеет два значения, если R\>4Ri, и одно — если Rl = 4R2.

Если ет = 3 или 4, мы можем применить методы решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени, изложенные в курсах алгебры. Но эти методы, как правило, весьма сложны, и результаты имеют настолько громоздкий вид, что функцию в этих случаях удобнее изучать непосредственно по исходному уравнению.

3. Рассмотреть функции, определенные уравнениями

у2 — 2у — х2 = 0, у2 — 2у + х* = 0, у'*— 2v3 + *2 = 0,

в каждом случае находя у как явную функцию от х. Указать, для каких значений X эти функции определены.

4. Найти алгебраические уравнения с коэффициентами, являющимися рациональными функциями от х, которым удовлетворяли бы следующие функции:

v*+yi> V*+у т' Vx~+v^> YX+VX+vir.

5. Рассмотреть уравнение у4 = jc2.

[Здесь у2 = ± х. Если jc положительно, у = V^x; если х отрицательно, у= у"— х. Таким образом, функция имеет два значения для всех значений х, кроме X = Q.}

6. Алгебраическая функция от алгебраической функции от х также является алгебраической функцией от х.

[Это может быть доказано в основном теми же рассуждениями, что и в примерах 37 и 38, стр. 44—45. Мы исходим из уравнений

Vm + R1 (г)Ут+ .•. + Rm (Z) = 0, zn + S1 (*)*«-» -\----+Sn(X) = O

с рациональными коэффициентами и образуем произведение П {y» + R1 (zh) у™-*- +... + Rn (?)},

распространенное на я корней zh второго уравнения.]

7. Следует, быть может, еще привести пример алгебраической функции, которая не может быть представлена в явном алгебраическом виде. Таким примером является функция у, определенная уравнением

V5 —у —л-' = 0.

Но доказательство того, что мы не можем выразить у явно через х, трудно, и мы не будем его здесь приводить.

28. Трансцендентные функции. Все функции от х, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными. Это определение принадлежит к типу негативных. Мы не будем пытаться

60

Глава вторая

дать здесь систематическую классификацию трансцендентных функций, но мы можем выбрать один-два особо важных подкласса.

Е. Прямые и обратные тригонометрические или круговые функции. Это — синус и косинус элементарной тригонометрии, обратные им функции и функции, получаемые из них. Мы можем пока предположить, что читатель знаком с их самыми важными свойствами 1J.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed