Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
ження на (/4-(/2+1.]
27. Если я з _
a+ft)/2+c у 4 = О,
где в, ft, с рациональны, то а = 0, ft = 0, е = 0.
з _
[Пусть у ~ у2. Тогда у3 = 2 н
г у* + fty + я = 0. Следовательно, 2су3 + 2fty + яу3 = 0 или
яу2 + 2су + 2ft = 0.
Умножая эти квадратные уравнения на я и с и вычитая одно нз другого.получим,
в2_2Ьс
что(я* — 2с2)у+'я2—2*г = 0нлну=—~аь — 2сг ' Т- е- Рацнональное число, что невозможно. Единственная другая возможность заключается в том, что ab — 2с2 = 0 и я2 — 2fte=0.
Отсюда ab = 2с2, я4=4*2с2. Если ни я, ни ft не равны нулю, мы можем разделить второе уравнение на первое, что дает я3 = 263. Но это невозможно,
так как у 2 не может быть равно рациональному числу . Следовательно,
я = 0 и ft = 0, а теперь из основного соотношения следует, что я, ft н с все равны нулю.
Как следствие мы получаем, что если
a + ft^"2+cyT=d+e fo+fyi,
то a = d, b = e, с = /.
Можно вообще доказать, что если
*о + ЪРШ + • - • + я„ _ і P(m"1)/m = 0,
где р не есть точная да-ая степень, то я0 = A1 =... = am_L = 0; но это доказательство менее просто.] з 3
28. Если А + ув= С+УЪ, го лнбоЛ = Си B = D, либо . В и Z) суть кубы рациональных чисел.
з__ з _ з
29. Если уА-\-уВ-\- уС = 0, то либо одно нз чисел А, В, С равно нулю, а два остальных равны по величине, но обратны по знаку, либо
у А, у В, у С — рациональные кратные одной и той же иррациональности
Ух.
Действительные переменные 43
/7 + 5у' 2 = о + Р V2. 31. Если (а — ЬЛ)Ь>0, то
У Sb3 + в і / а— b3 ,Y 8O3 + й і / а
у "+-rV -ж-+у а-~ж~У -
зыражений под знакам
-Jr1 30
рационально. [Каждое из выражений под знаками кубического корня может быть представлено в виде
где а и р рациональны.] 32. Доказать, что
у 1 _. у 4 = -3- (¦^l + у"20 — |/"25),
4 -
1 / 3 + 2 У 5 _ 1
^ 3 —2у"5 У5—1
я _
33. Если о = у^р, то любой полином от о является корнем некоторого уравнения степени п с рациональными коэффициентами. [Мы можем представить любой полином от а в форме
X = I1 + Ot1b 4-...4- /"їв"""1,
где I1, от,, ... рациональны (см. пример 25). Аналогично,
Xі = I1 + OT3B + ... -J- г3а"-'
Отсюда где Д означает определитель
хп = 1п + т,р + ... 4-r„a""-LlX + Lsx*+ ... +LnXn=H1
I1 OT1
/» от.
•Ti
a Z1, Z2, ... — алгебраические дополнения элементов I1, I2, ... ^n.]
34. Применить предыдущее рассуждение к х=р + Уq н вывести теорему п. 14.
35. Показать, что
y=a + bp1/t + cpt/i
удовлетворяет уравнению
у8 — Зау2 4- Зу (а2 — oc/>) — а3 — о3/? — с3/)8 4- 3ab ср = О,
30. Найти рациональные числа в, ? так, чтобы
44 Глава первая
36. Алгебраические числа. Мы видели, что некоторые иррациональные числа (как, например, ]/~2) являются корнями уравнений вида
O0X" -г-ві*"-1+ ... + ап = 0,
где а0, e„ ..., ап — целые числа. Такие иррациональные числа называются алгебраическими; все другие иррациональные числа, такие, как, например, к (см. п. 15), называются трансцендентными.
37. Если X и у— алгебраические числа, то таковыми же являются
X-(-у, X —у и ху, а также ¦y , если уфО.
[Требуются некоторые сведения из алгебры. Мы должны воспользоваться следующими теоремами: во-первых, что элементарные симметрические функции S Xn S xrxs, ... корней уравнения
xm-pixm-l-\-pixm-*- ... ±рт = 0 (1)
равны plt р2, ... и, во-вторых, что любой симметрический полином (см. пп. 23 и 31) от Xi, х3, ... с целочисленными коэффициентами является полиномом от pt, pi, ... с целочисленными коэффициентами.
Мы можем записать уравнения, которым удовлетворяют х и у, в виде (1) и
уп _ qifl-i + ьуп-г _ .. . ± 0„ = 0, (2)
где pi, р„, ... a qu цг, ... рациональны. Мы предполагаем, что корни (1) и (2) суть X1, X1, ... и Уі, Ун, причем X = X1 и у =Уь и образуем произведение
т л
Р(г)=Л П (z-xh ~yk)
Л— 1 я =1
по всем тп парам значений h и k. Тогда P (г) является полиномом степени тп от z, а его коэффициенты суть симметрические полиномы от Xf1 и yk с целочисленными коэффициентами. Отсюда следует, что эти коэффициенты суть полиномы от pt, ръ qi, qit ... с целочисленными коэффициентами, т. е. рациональны. Таким образом, P (г) = 0 являетвв уравнением степени тп с рациональными коэффициентами; но х-\-у является одним из его корней.
Доказательство для х—у и ху аналогично. Если у ф О, и мы предположим (что не ограничивает общности наших рассуждений), что qnфO, то
z = ~ удовлетворяет уравнению
z" — nz"-1 -f г3г"-2 — ... ± rn = О,
где rt = , /¦3 = -^?-,____Следовательно, z есть алгебраическое число,
а, следовательно, xjy = xz—также алгебраическое число.
В частности, л: + k и kx—алгебраические числа, если k рационально.]
38. Если
хт 4- aixm~l 4-... 4- ат = О,
где аь as, am — алгебраические числа, то х — также алгебраическое число.
[Это может быть доказано аналогично предыдущему. Каждое аг удовлетворяет уравнению
«/—All8/ + ••• ±Рг,пг-°
с рациональными коэффициентами. Предположим, что корнями этого урав-
