Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры XV. 1. Начертить графики функций cos jc, sin je, а cosa:+ b sin jc.
[Так как a cos х + b sin а- = ? cos (х — а), где ($ = У a2 + b2, а а—угол, ко-
а Ь .
синус и синус которого равны соответственно — и , , графи-
3 У a* + b* Ya2 + Ь*
ки этих трех функций аналогичны по своему характеру.]
2. Начертить графики функций cos2 а:, sin2jc, а cos2 jc + b sin2 jc.
3. Предположим, что графики / (jc) и F(x) начерчены. Тогда график функции
/ (jc) cos2 jc + F (jc) sin2a-
представляет собой волнообразную кривую, колеблющуюся между кривыми у =/(*) и у — F(jc). Начертить этот график в случае, когда / (jc) = jc и F(jc) = jc2.
4. Показать, что график функции cosрх + cos qx лежит между графиками функций 2 cos -j (р — q) X и — 2 cos •^-(P + ?) касаясь каждого по
очереди. Набросать график в случае, когда ^ ~у мало. (Экз. 1908 г.)
5. Начертить графики функций
1. . . sin jc
X + sm Xj — + sin л-, jcsinjc, 6. Начертить график функции sin
jc 1 ' ' jc
1
jc
[Если v = sin —, то v = onohjc = —, где т — любое целое число. jc /ил
Далее, у = 1 при jc = -;-y\— и У= —1 при х=~,-—у^— • Кривая
(2« + *)* . (2и-т,
целиком расположена между прямыми у = — 1 иу=1 (фиг. 12). Она колеблется, причем частота колебаний увеличивается, когда jc приближается к нулю. При jc = O функция ие определена. Когда jc велико, у мало2). Отрицательная половина кривой ведет себя аналогично.]
1J Определения тригонометрических функций из элементарной тригонометрии предполагают, что любому сектору круга может быть сопоставлено определенное число, называемое его площадью. Каким образом это предположение оправдывается, будет видно в гл. VlI и IX.
*) Точный смвдсл этой фразы будет разъяснен в гл, IV и V-.
Функции действительного переменного 61
7. Начертить график функции х sin —.
[Эта кривая так же расположена между прямыми у= — х и у = х, как кривая примера 6 расположена между^прямыми у = —1 иу=1 (фиг. 13).]
8. Начертить графики функций
* • 1 1 • 1 I ¦ 1 \2 • . ¦ 1 1
х slnT' T"sinV -*isinT ' sinx + sin —, sinxsin —.
X X \ Xj X X
ЭЛНачертить графики функцийЗсов x2, sinxs, a cosx2 +jilsin x2.', 10. Начертить графики arc cos xfiH arc sin x ^(обратный косинус и синус иногда записываются и гак: cos~Jx и. ;sin-1 х).
Фиг. 12 Фиг. 13
[Если y = arc;Cosx, х — cosy. Это дает нам возможность начертить график х, рассматриваемого как функция от у, и эта же кривая дает зависимость у как функции от х. Ясно, что у определено только если — 1 =grx=gr 1, и бесконечно многозначно для этих значений х. Как читателю несомненно известно, при — 1 < X < 1 существует значение у, заключенное между 0 и я; если это значение обозначить через а, то все другие значения у даются формулой 2пт. ± а, где л — любое целое число.]
11. Начертить графики функций
tg х, ctgx, secx, cosecx, tg2x, ctg2x, sec2x, cosec2x.
12. Начертить графики arctgx, arcclgx, arc secx, arc cosecx. Привести формулы (как в примере 10), выражающие все значения каждой из этих функций через некоторое частное значение.
13. Начертить графики функций
111 1
tg~> ctg^> sec7' cosec —•
14. Показать, что cosx и sinx не являются рациональными функциями от х. [Функция называется периодической с периодом а, еслиf (х) = f (х-\-а) для всех значений х, для которых /(х) определена. Так, eos х и sin х имеют период 2к. Легко видеть, что никакая периодическая функция не может быть рациональной, если она не постоянная. Действительно, допустим, что
п) Q (x) '
62
Глава вторая
где P и Q — полиномы, и что / (х) = f (X + а), причем каждое из этих равенств имеет место для всех значений х. Пусть f(0) = k. Тогда уравнение Р(х)—?Q (л) = 0 удовлетворяется бесконечным числом значений х, именно X= 0, а, 2а н т. д., а следовательно, и для всех значений х. Таким образом, f(x) = k для всех х, т. е. f (х) — константа.]
15. Показать, обобщая предыдущий результат, что никакая периодическая функция не может быть алгебраической функцией от х.
[Пусть уравнение, определяющее алгебраическую функцию, будет
ym + Ro,m-i+ ... + Rm = Q, (1)
где R1, ... , Rm — рациональные функции от х. Это уравнение можно записать в виде
Р^ + Ру™'1 + ... +Рт = 0,
где P0, P1, ... , Рт — полиномы от х. Рассуждая как в предыдущем примере, мы убедимся, что
P0^ + P1^ + ...+Рт = 0
для всех значений х. Следовательно, y = k удовлетворяет уравнению (1) для всех значений х, н одна система значений нашей алгебраической функции сводится к постоянной.
Разделим теперь (1) на у — к и повторим рассуждение. Окончательно мы придем к заключению, что наша алгебраическая функция имеет для любых значений х одну и ту же систему значений к, к', ... , т. е. она состоит из некоторого числа постоянных.]
16. Обратный синус и обратный косинус не являются ни рациональными, ни алгебраическими функциями. [Это следует из того, что для любого значения X между —1 и arc sin х и arc cos х имеют бесконечно много значений.]