Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
a'r = G, a's = aras[G,
то их геометрическое среднее не изменится. А так как
а\ + а\ -ar-as = (ar - G) (в, — 0)/0 й? О,
то мы.при этом заведомо не увеличим их арифметического среднего.
Ясно, что мы можем повторять это рассуждение до тех пор, пока не заменим каждое нз аи ait ап числом О — для этого потребуется не более п шагов. Так как окончательное значение арифметического среднего будет О, исходное значение не могло быть меньшим.
10. Неравенство Кошн. Пусть а„ at, .¦.,Ctn и Ьп — любые две системы положительных или отрицательных чисел. Легко убедиться в справедливости тождества
(?«А)2 = S a) E*? - S (вА - вА>*' где г и s принимают значення 1, 2, п. Отсюда следует, что
(S «A)2*s
11. Если а,, «3.....ап положительны, то
40
Глава первая
12. Если а, & и с положительны и a -f- Ь -j- с = 1, то
13. Если a w Ъ положительны и а-\-Ь = \, то
(e+-I")2+(&+-if ^ ? • (э*а1926 г°
14. Если ви а2, ..., в„ положительны н Sn = U1 -f- e2 +... + а„, то
15. Если -j, аа, ап и &s, &„ — две системы положительных чисел, записанные каждая в убывающем порядке, то
(«і + <*г + ... + «„) (*i + h + • • • + ьп) ^ я («Л + «А + ... + 0A)-
16. Если а, Ъ, с, ..., k и Л, В, С.....АГ—две системы чисел, причем
все числа первой системы положительны, то
аА+ЬВ+ ... + kK а + Ь+ ... +k
лежит между алгебраически наименьшим и наибольшим из чисел А, В,..., К.
[Примеры 7—16 являются, большей частью, весьма специальными случаями известных общих теорем, которые систематически изложены в книге Харди, Литтльвуда и Полна, Неравенства (Кэмбридж, 1934г.).**) См. также гл. IV, п. 74 и Приложение I.J
17. Если Vp не подобно у q и а-\-Ь Vp + с Vq + d VРЧ — 0> гДе а> Ъ, с, d рациональны, то а = 0, Ь = 0, с = 0, d = 0.
[Представить VP в форме M-\-NVq, где Af и JV рациональны, и применить теорему п. 14.]
18. Показать, что если
где а, Ь, с—рациональные числа, то а = 0, Ь = 0, с = 0.
19. Любой полином от Vp и Vа с рациональными коэффициентами (т. е. сумма конечного числа выражений вида А (Vp)m (Vl)n> где т и п~ целые числа и А рационально) может быть представлен в форме
А+в Vp+ CVl+ DVJq,
где А, В, С, D рациональны.
*) В дальнейшем автор приводит много задач, фигурировавших на экзаменах повышенной трудности в Кэмбриджском университете (так называемых Mathematical Tripos), которые сдаются студентами, претендующими на диплом с отличием. По всему университетскому курсу анализа проводится обычно три таких экзамена. Для каждой задачи в книге указывается год, в котором она фигурировала на этих экзаменах. (Прим. перев.) *'"! Книга переведена на русский язык (Москва, 1948). (Прим. ред.)
aj/"2 + *j/"3 + cj/"5 = 0,
а + ъ Vp + с Vl + d Vpi>
где а, Ь, с, d рациональны.
20. Выразить
а + ЪУр + cVq^ d + eVp+fVl
¦Lr, где а, Ь, с, ... рациональны, в форме
Действительные переменные 41
] + у2 + У 3 2 1 4
21. Если а, Ь, х, у — рациональные числа, удовлетворяющие соотношению
(ay — bxf + 4 (a — X) (Ь —у) = О,
то либо х= а иу = Ь, либо 1 — ab и 1—ху являются квадратами рациональных чисел. ' (Экз. 1903 г.)
22. Если все значения х и у, определяемые соотношениями
ах2 + 2hxy + by2 = 1, а! Xі + 2h'xy + ' = 1,
где в, A, b, а\ h', V рациональны, также рациональны, то
(Л — Л')2 — (в — в') (* — V) н (в?' — в'*)2 + 4 (вЛ' — а'й) (ЬК — являются квадратами рациональных чисел. (Экз. 1899 г.)
23. Показать, что У 2 и У~3 суть полиномы третьей степени от УТ+У 3 с рациональными коэффициентами и что У2 — У& + 3 — дробно-линейная функция от У2 + !/"З. (Экз. 1905 г.)
24. Показать, что
У а + 2т У а —т2 + У а — 2тУа — от2
равно 2т, если 2от'>в>от2, и равно 2 У а—-от2, если в>2от2.
3 _
25. Показать, что любой полином от J/" 2 с рациональными коэффициентами может быть представлен в виде
з _ з _ а + Ь У2 + с у 4,,
где а, Ь, с рациональны.
Вообще, если р — любое рациональное число, то любой полином от
т _
Ур с рациональными коэффициентами может быть представлен в виде
а0 + а^ + айа2 + ... +em.1am-1, т —
где в0> ai.....om-i рациональны и а = у р. Ибо всякий такой полином
имеет вид
b0 + Ьг* + V2 + ... + bka\
где коэффициенты b рациональны. Если R^m— 1, то это уже есть требуемый вид. Если же k>m — 1, то пусть аг будет любая целая степень
[Очевидно, чго
a + bV?+cVJ_(a + bVp + cVq~)(d+eVp~-fVq)_ d + eYp+fVl (d-\-eVPy-f*q
_ °+їУр + -(УІ+ьУр~і' .
где а, (3 и г. д. — рациональные числа, которые могут быть легко определены. Окончательное преобразование к требуемому выражению производится теперь умножением числителя и знаменателя на є — С}/"р. Например, показать, что
1 ^=4+^-1^6-.]
42 Глава лервая
выше (т — 1)-ой. Тогда /* = Xw + s, где X—целое число и 0 ^ т—1. Следовательно ar = a^-m + s = 'а'5, и, таким образом, мы можем избавиться от всех степеней а, больших чем (т — 1)-ая.
з
26. Выразить (у 2 — If и- в форме
уТ+1
з _ я _ я + Ь у 2 + с у4,
где а, ft, с рациональны. [Умножить числитель н знаменатель второго Вырази 3
