Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 18

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 191 >> Следующая


Действительные переменные

45

нения являются аЛ j, ал2, <xr _^ (причем а_=ал ведение

ал1), и образуем произ-

P (а") = П (** + «„ аЯ "і + ... + а,

по всем N=n1nt...nm комбинациям индексов s1, s,,...,sm. Таким образом, мы получаем полином от х степени mN с рациональными коэффициентами.

В частности, хт/п — алгебраическое число, если само х — число алгебраическое, а от н п — целые.]

40. Найти уравнения с рациональными коэффициентами, которым удовлетворяют следующие алгебраические числа:

1+/2 + /3, У±+ V?-, //3-+/2+//3-,/2, уТ+^З.

41. Если Xа — X + 1, то X3" — апх + Ьп + с„лГ', где

ял+1 = on + К, *п+1 = ап + Ъп + cn, cn+i = ?n + cn-

42. Если а-0 +а-5 —2а-4 —а-3 +а-2+1 =0 и у=х* — а-2+а-— 1, то у удовлетворяет квадратному уравнению с рациональными коэффициентами.

(Экз. 1903 г.)

[Находим, что у2 +у + 1 = 0.]

39. Если

то

а-2 — 2а- /2 + /3 = 0, л:» _ 16а-« + 58л^ — 48а-' + 9 = 0.

ГЛАВА II

ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

20. Понятие функции. Предположим, что х\лу — два непрерывных действительных переменных, которые мы можем представить себе геометрически расстояниями AqP= х, B0Q =у, измеренными от фиксированных точек A0, B0 вдоль двух прямых линий А, М. Представим себе, что положения точек P и Q не независимы, а связаны некоторым соотношением, которое мы будем мыслить как соотношение между x и у; таким образом, если Рид: известны, то Q а у также известны. Мы можем, например, предположить, что у = х

или 2х, или yx> или Jf4 +1. Во всех этих случаях значение х определяет значение у. Или же мы можем предположить, что соотношение между x и у дано не с помощью явной формулы для у, выраженной через j:, а с помощью некоторого геометрического построения, которое позволяет найти Q, когда P известно.

В этих условиях говорят, что у является функцией от х. Это понятие функциональной зависимости одного переменного от другого является, по всей вероятности, самым важным понятием во всей высшей математике. Для того чтобы читатель мог быть уверен в правильности и ясности усвоения этого понятия, мы проиллюстрируем еґо в этой главе на большом числе примеров.

Однако, прежде чем перейти к этим примерам, мы должны отметить, что те простые примеры функций, которые уже приведены выше, обладают тремя свойствами, которые никоим образом не заложены в общем понятии функции, а именно:

(1) у определено для каждого значения х;

(2) каждому значению х, для которого у определено, соответствует только одно значение у;

(3) соотношение между x и у выражено с помощью аналитической формулы, из которой значение у, соответствующее данному значению X1 может быть получено непосредственной подстановкой последнего.

В действительности оказывается, что этими тремя свойствами обладают многие из наиболее важных функций. Но рассмотрение следующих примеров яено покажет, что они никоим образом не являются существенными для функции. Существенным является только

Функции действительного переменного

47

то, что должно существовать некоторое соотношение между хну такое, что по крайней мере некоторым значениям х соответствуют значения у.

Примеры X. 1. Пусть v = x или 1х, или •^a-, или хі-\-\. Про такие

случаи мы пока ничего не будем говорить.

2. Пусть у =0, каково бы ни было значение х. Тогда у является функцией от X, так как мы можем придать х любое значение, и соответствующее значение у (именно нуль) известно. В этом случае функциональная зависимость сопоставляет одно и то же значение у всем значениям л:. То же самое

имело бы место, если бы.у было равно 1 или —у, или j/2 вместо нуля.

Такая функция от у называется постоянной.

3. Пусть уг = х. Тогда, если х положительно, это уравнение определяет два значения у, соответствующие каждому значению х, а именно, ± ~[/~х. Если х = 0, то у=0. Следовательно, частному значению нуль переменного х соответствует только одно значение у. Если же х отрицательно, то не существует значений у, которые удовлетворяли бы уравнению. Это значит, что функция у не определена для отрицательных значений х. Эта функция обладает, следовательно, свойством (3), ио не обладает ни свойством (1), ни свойством (2).

4. Рассмотрим некоторое количество газа, поддерживаемое при постоянной температуре и заключенное в цилиндр, закрытый скользящим поршнем 1J.

Пусть А будет площадь поверхности поршня и W— его вес. Когда поршень находится в равновесии, мы должны иметь

где ра — давление газа на поршень, отнесенное к единице площади его поверхности.

Пусть будет объем газа при этом равновесии. Если положить дополнительный груз на поршень, то он несколько опустится. Объем v газа при этом уменьшится, давление же р, которое он производит на единицу площади поверхности поршня, возрастет. Экспериментальный закон Бойля показывает, что произведение р я V остается почти постоянным. Если бы этот закон был точен, то соотношение выражалось бы уравнением вида

где в — число, которое может быть приближенно определено с помощью эксперимента.

Закон Бойля, однако, дает удовлетворительное приближение к действительности лишь до тех пор, пока газ не сжат слишком сильно. Когда v уменьшилось, а р возросло, перейдя через некоторое значение, соотношение между ними уже не описывается с какой бы то ни было точностью уравнением (1). Известно, что в этом случае значительно лучшее приближение, к действительности дается так называемым законом ван дер Ваальса, который выражается уравнением
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed