Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
24. Приближенная квадратура круга. Пусть О будет центр круга
радиуса R. На касательной в точке А круга отложим AP =-^R и AQ = 13
= — R в одном и том же направлении. На луче АО отложим AN=OP и о
проведем JVAf параллельно OQ до пересечения с AP в точке M- Показать, что
АМ 13 л/ГШ
-R=¦T5V146
и что принятие AM за длину окружности радиуса R приводит к значению ~, точного до пяти знаков после запятой. Если R- радиус Земли, то ошибка при замене длины экватора длиной AM не превосходит 10 м.
[Мы указывали в п. 15, что л трансцендентно; но в этой книге мы не можем даже доказать, что оно иррационально. Это впервые доказал Ламберт в 1761 г. с помощью непрерывных дробей.
22 355
Наиболее известными приближениями к к являются -у- и yyg, причем
последнее приближение точно до шести знаков после запятой. Индусы применяли приближение ]/Т0 (с ошибкой уже во втором знаке). Большое число весьма замечательных приближений может быть найдено в работах Рамануджана (R a m a n u j a n, Collected papers, стр. 23—39). Простейшими являются:
U-I/7 Ul4-?I\ (д., 192V74 63/ 17 + 15уТ\. тУ7' 3\1+ 5 J' I9 +-2TJ ' 25\7 + 15у5)'
они точны, соответственно, до 3, 3, 8 и 9 знаков после запятой.]
3 _
25. Построения у 2. Пусть О является вершиной и S — фокусом параболы у2 = 4х, и P—одна из точек пересечения этой параболы с параболой Xі =2у. Показать, что OP пересекает фокальную хорду первой параболы,
перпендикулярную ее оси, в такой точке Q, что SQ = у 2.
26. Возьмем окружность с диаметром OA, равным единице, и касательную в точке А. Проведем хорду ОВС, пересекающую окружность в точке В, а касательную — в точке С. На этой прямой отложим OM = BC- Взяв О в качестве начала и OA за ось х, показать, что геометрическое место точек M является кривой
(л;2+у2)*—у2 = 0
(называемой циссоидой Даоклеса). Начертить эту кривую. Возьмем вдоль оси у длину OD = 2. Пусть AD пересекает кривую в точке P и OP — касательную к окружности в Л в точке Q. Показать, что ЛО = у2.
См. также Адлер, Теория геометрических'построений, Учпедгиз, 1940, §§ 36 и 45. (Прим. персе.)
глава iii КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
34. Смещения вдоль линии и на плоскости. „Действительное число" х, с которым мы имели дело в двух предыдущих главах, может рассматриваться со многих точек зрений. Оно может рассматриваться просто как число, лишенное какого бы то ни было геометрического смысла, или такой геометрический смысл может быть ему приписан по крайней мере тремя различными способами. Оно может рассматриваться как мера длины, а именно, длины A9P вдоль прямой А из гл. I. Оно может рассматриваться как значок точки, а именно, точки Р, расстояние которой от A0 равно х. Или, наконец, оно может рассматриваться как мера смещения, или изменения положения на прямой А. На этой третьей точке зрения мы и сосредоточим наше внимание.
Представим себе небольшую частицу, расположенную в точке P на прямой А и затем перенесенную в Q. Мы будем называть то смещение, или изменение положения, которое необходимо для перенесения частицы из P в Q, смещением PQ. Для полного задания смещения необходимы три данных: его величина, его ориентация вдоль прямой, и то, что можно назвать его точкой приложения, т. е. исходное положение P частицы. Но когда мы говорим только об изменении положения, произведенном смещением, как таковом, естественно не принимать во внимание точку приложения и рассматривать все смещения с равными длинами и одинаковой ориентацией как эквивалентные. Тогда смещение полностью задается длиной PQ=X1 причем ориентация его определяется знаком х. Мы можем поэтому говорить о смещении [х]1) и писать PQ = [х].
Мы применяем квадратные скобки для того, чтобы отличить смещение [х] от длины или числа ха). Если а является координатой
1J Вряд ли необходимо предупреждать читателя о том, чтобы он не смешивал этого применения символа [х] с его применением в гл. II (см. примеры XVI и Разные примеры, 20).
2) Строго говоря, мы должны были бы с помощью какого-либо аналогичного различия в обозначениях отличать длину х от числа х, измеряющего ее. Читатель, быть может, будет склонен рассматривать такие различия как излишний педантизм. Но с накоплением математического опыта он убедится в чрезвычайной важности ясного различия между объектами, которые хотя и весьма тесно связаны друг с другом, но все же не тождественны.
76
Глава третья
точки Р,_ то координатой Q будет a-f-лг. Смещение [х], следовательно, переносит частицу из точки а в точку а-\~х.
Переходим теперь к рассмотрению смещений на плоскости. Мы можем определить смещение PQ так же, как это было сделано выше. Но теперь требуется больше данных для полного задания смещения. Мы должны знать: 1) величину смещения, т. е. длину отрезка PQ, 2) направление смещения, которое определяется углом между PQ и некоторой фиксированной прямой на плоскости, (3) ориентацию смещения и (4) его точку приложения. От этого последнего требования мы можем отказаться, если условимся
рассматривать два смещения одинаковой величины и одного и того же направления и смысла как эквивалентные. Другими словами, если PQ и RS равны и параллельны и смысл движения OT P к Q тот же, что и от R к 5, мы считаем смещения PQ и RS эквивалентными и пишем
