Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Обратное предложение также справедливо. [Это представляет собой лишь перефразировку примера 2.]
5. Если AB и AC — два смещения, не лежащие на одной прямой, и
aAB + ?AC= •(AB+ &AC,
то а = ? и ff = 8.___
[Возьмем AB1 = а AB, ACl=?AC. Достроим параллелограм AB1PxC1. Тогда APl = aAB + ? А С. Очевидно, что AP1 может быть выражено в таком виде только одним способом, откуда следует теорема.
6. Пусть ABCD—параллелограм. Через точку Q, лежащую внутри параллелограма, проведены параллельно сторонам отрезки RQS и TQU. Показать, что RU н TS пересекаются на Л С (фиг. 19).
80
Ґлава третья
[Обозначим отношения AT: AB, AR: AD соответственно через а и ? Тогда
Af=za AB, AR = ?A~D, AU = aAB + AS, AS= AB+ ?A~D.
Пусть RU пересекает AC в точке Р. Так как точки R, U, P коллинеарны*), то мы имеем:
AP-.
AR-
-AU,
X+(J.*"V 1 X -j-
где (J./X — отношение, в котором P делит RU. Другими словами,
AP =
..^AB+?r\±^AD. Х + р. X + jj.
Но так как P лежит на АС,
AP = kA~C=kAB + kAD,
где k — некоторое число. Следовательно (пример 5), ар. = ?X -f- (J- = (X -f- jj.) k,
откуда мы заключаем, что
a+?-l '
Симметрия полученного выражения показывает, что аналогичное рассуждение должно привести к соотношению
AP'
a?
АС,
ест P' является точкой пересе-Фаг. 19 чения TS и АС. Следовательно,
точки P и P' совпадают.] ' 7. Пусть ABCD — параллелограм и M — середина AB. Показать, что MD делит AC в отношении 1:3 в что AC делит MD в том же отношении1)-
37. Умножение смещений. До сих пор мы не делали попыток придать какой-либо смысл понятию произведения двух смещений. Единственным видом умножения, который мы рассматривали, являлось умножение смещения на число. Выражение
[X, у] [Xі, у']
пока ничего не означает, и мы можем определить его как пожелаем.
Наш выбор определения обусловливается следующими принципами. Ясно, во-первых, что произведение двух смещений должно быть также смещением. Далее, мы определили а.[х, у], где а — действительное
lysis.
*) Т. е. лежат на одной прямой. (Прим. перев.)
1) Последние два примера взяты из книги Willard Gibbs, Vector ana-
Комплексные числа
81
число, как [ах, оу]; но а можно рассматривать как смещение [а, 0]. Следовательно, изменяя наши обозначения, мы видим, что, во-вторых, в силу нашего определения, должно быть
[jc, 0] [х'г у'] = [хх, ху'].
Наконец, в-третьих, наше определение должно подчиняться обычным законам умножения, а именно, переместительности, распределительности и сочетательности, так что
[х, у] [х, у'] = [х, у'] [х, у), ([х, у] + [xі, у']) [х", у"] = [x1 v] [jc", у") + [х\ у'] [JC", у"], [х, У] ([xі, у'] + [л:", у"]) = [jc, J,] [jc', У] + [jc, J,] [jc", У'] и [х, у) {[x, У] [jc", у"]) = ([х, у) [xі, у')) [jc", У']. Таким образом,
[л", у] [jc', у'] == [jcjc', у/]
не будет подходящим определением, так как оно дало бы
[jc, 0][х', у'] = [хх', 0],
что противоречит нашему второму требованию.
38. К нужному определению нас приводят следующие соображения. Мы знаем, что если OAB и OCD — два подобных треугольника с равными углами в вершина*, соответственно, О, А и С, В и D, то
OB _ОР ОА~ОС
или OB • OC=OА - OD (фиг. 20). Это наводит нас на мысль попытаться определить умножение и деление смещений так, чтобы
Ш=2Е, OB-OC = oa-OD. OA ОС
Пусть теперь
OB=[x, у], OC=[x', У], OD=[X, Y].
Предположим, что А является точкой (1,0), так что OA = [1,0]. Тогда
oa-OD = [I, O][X, Y] = [X1 Y), и, следовательно,
[*, У] [x', У'] = [X1 Y).
Произведение OB • ОС должно быть поэтому определено как OD, где точка D полз'чается построением на ОС треугольника, подобного треугольнику ОАВ. Чтобы избавиться от двузначности этого определения, заметим, что на ОС мы можем построить два таких треугольника, OCD и OCD' (см. фиг. 20). Мы выбираем тот, для которого угол COD равен углу AOB не только по величине, но и по знаку. Мы будем говорить, что такие два треугольника подобны и одинаково ориентированы.
6 Г. Харди
82 Глава третья
D
Фиг. 20
Мы видим, во-первых, что, если у = 0, то Х = хх', Y = xy', как мы требовали; во-вторых, что правая часть не изменится, если мы поменяем местами х и х', и у и у', так что
[х, у) [х', у') = [л:', У) [х, у);
и, в-третьих, что
{[х, у] + [х\ у')} [Jf", у'] = [jf + Jf', j, +У] [Jf", У'] =
= [(л; + Jf') Jf" - (у +У)у", (X + jf')y + (у+у) jf"] =
= [хх"-уу", ху" +ух") + [Jf'Jf" —уу', jf'y +у*"] = = [х, у] [Jf", у"] + [Jf', У] [Jf", У'].
Аналогично мы можем проверить, что удовлетворяются все соотношения, приведенные в конце п. 37. Таким образом, определение (6) удовлетворяет всем требованиям, которые мы предъявляли к нему в п. 37.
Если полярные координаты точек В и С суть, соответственно, (р, 6) и (о, <р), так что
X = р cos б, JV = р sin б, x' = ocos<p, у' = о sin ф,
то точка D будет иметь полярные координаты (ро, б -j- ф). Следовательно,
X = ро cos (б -f- ф) = хх' —уу', Y = ро sin (б -]- ф) = ху' -\-ух'.
