Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Требуемым определением будет поэтому следующее:
[х, у] [х', у'] = [хх' —уу', ху' +ух'). (Q)
Комплексные кисла
83
Пример. Показать непосредственно нз приведенного выше геометрического определения, что умножение смещений подчиняется переместитель-ному н распределительному законам. [Возьмем, например, закон переместительности. Произведение OB- ОС равно OD (см. фиг. 20), причем COD подобен АОВ. Для построения произведения ОС - OB мы должны построить на OB треугольник BOD1, подобный АОС; таким образом, нужно только доказать, что точки D и D1 совпадают или что треугольники BOD и AOC подобны. Но это —простая задача элементарной геометрии.]
39. Комплексные числа. Точно так же, как смещению [х] вдоль OX соответствует точка (х) или действительное число х, так и смещению [х, у] на плоскости соответствует точка (х, у) или пара действительных чисел х, у.
Оказывается удобным обозначить эту пару действительных чисел х, у символом
x-\-yl.
Почему выбирается именно такое обозначение, выяснится дальше. Пока читатель должен рассматривать x-\-yi просто как другой способ записи символа [х, у]. Символ x-\-yi называется комплексным числом.
Мы переходим теперь к определению эквивалентности, сложения и умножения комплексных чисел. Каждому комплексному числу соответствует смещение. Два комплексных числа эквивалентны, если эквивалентны соответствующие им смещения. Суммой и произведением двух комплексных чисел являются комплексные числа, соответствующие сумме и произведению соответствующих смещений. Таким образом,
x+yi = x'+y'i (1)
тогда и только тогда, когда х = х', У=У',
(x+yi) + (х" +y'i) = (х + х') + (у +у') І, (2)
(X + yi) (х' +y'i) = хх' —уу' + (ху' +ух') L (3)
В качестве частных случаев из (2) и (3) мы получаем:
X +yi = (х + Oi) + (0 +yi), (х + Oi) (х' +y'i) = хх' + xy'i,
и эти соотношения показывают, что мы не должны опасаться недоразумений, когда, имея дело с комплексными числами, мы пишем х вместо X+ Oi и yi вместо 0+уі.
Читатель легко проверит сам, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняется законам алгебры, выражаемым следующими соотношениями:
(X +yi) + (х' +y'i) = (х' +y'i) + (X +yi), {(X+yi) + (X' +y'i)} + (X" +y"i) = (X +yi) + + {(х'+Уі) + (х"+у"0\,
6*
84 Глаъа треть'А
\Х +Уі) (X' +У I) = (X' (X+Jf/),
(X +yi) {(X' +у'I) + (X" +/'О} = (X+У) (X' +y'i) + + (*+>*) (*"+/'*).
К*+У) + <*'+УО} (*" +УО = (* +У) С*" +У О +
+ (х' +У) (X" +У О, (X +yl) {(X' +yz) (X" +УО} = {(X+у[) (X' +УО} (X" +j;"/),
доказательства которых фактически тождественны доказательствам соответствующих соотношений между смещениями.
Вычитание и деление комплексных чисел определяются как в обычной алгебре. Так, мы определяем (х +yi)— (Jf'+УО как
(X +У) + {— (х' +У*)} = * +У + (— х' —y'i) ==
= (*—*') + Cv —y')i,
или, что то же самое, как такое число S + rji, что
(X' +У О + (S + •V) = x+У.
Наконец, (х +У)/(х'+У0 определяется как комплексное число S+ -г]/, для которого
(х' +у і) (S + T1O = X +yl,
или
x'S—У») + (х'щ +у'І) і = X +У,
или
x'S—У*) = .*, x'yj+yS==^. (4)
Решая эти уравнения относительно S и ч\, мы получаем:
t_хх' +уу' _ух' — ху'
* x,2-fy'a ' 1 ^+у'2 •
Это решение теряет смысл, когда х' и у' оба равны нулю, т. е. когда: х' +у'і=0. Таким образом, вычитание всегда возможно; деление всегда возможно, за исключением того случая, когда делитель равен нулю.
Мы можем теперь определить целые положительные степени комплексного числа х+_уг, полиномы от x+yi и рациональные функции от x+yi, как в обычной алгебре.
Примеры. (1) С геометрической точки зрения задача деления смещения OD на смещение ОС состоит в определении точки В так, чтобы треугольники COD и AOB были подобны, и это, очевидно, возможно (и решение
единственно), если С не совпадает с О, т. е. если OC=Z=O.
(2) Комплексные числа x-\-yi, х—yi называются сопряженными. Проверить, что
(X +yi) (X — yi) =xs +у2,
Комплексные числа
85
так что произведением двух сопряженных чисел является действительное число, и что
x+yi (x + yi)(х' —y'i) _хх' +уу' + (х'у — xy')i X' +y'i ~~ (X' +y'i)(X' —y'i) ~~ х'г +у"*
40. Одно из наиболее важных свойств действительных чисел содержится в следующей теореме: произведение двух чисел не может быть равно нулю, если ни одно из них не равно нулю. Для того чтобы показать, что эта теорема остается в силе и для комплексных чисел, положим л; = 0, у = 0 в уравнениях (4) предыдущего пункта. Тогда
x't—y\ = 0, х\+у'% = 0. Из этих уравнений следует, что ? = 0, y] = O1 т. е. что
если не имеют места равенства: х' =0 и у' = 0, т. е. х'+у'і — 0. Таким образом, х-\-уі не может быть равно нулю без того, чтобы одно из чисел х'+y'i или u + ifjit не обращалось в нуль.
41. Уравнение Xі = —1. Мы условились упрощать наши обозначения, записывая л: вместо х+ Oi и yi вместо 0 +yi. В частности, комплексное число Ii мы обозначаем просто через L Это — число, соответствующее единичному смещению вдоль OY. Мы имеем также:
