Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 35

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 191 >> Следующая


Мы видим, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет в точности два корня. Дальше мы увидим, что аналогичная теорема имеет место для уравнения любой степени с дей-

') Мы будем иногда писать x + iy вместо x+yi.

88

Глава третья

ствительными или комплексными коэффициентами: уравнение степени п имеет в точности п корней. Единственным трудным местом доказательства является доказательство того, что любое уравнение должно иметь по крайней мере один корень. Доказательство этого положения мы должны пока отложить Можно, однако, сразу же отметить одно очень интересное следствие из этой теоремы. В теории действительных чисел мы исходим из положительных целых чисел и из понятий сложения и умножения и обратных действий — вычитания и деления. Мы находим, что эти действия не всегда выполнимы, если не ввести некоторый новый вид чисел. Можно приписать определенное значение разности 3—7, если ввести отрицательные числа, или отношению у, если ввести рациональные числа. Если мы расширим совокупность арифметических действий тем, что включим в нее извлечение корней и решение уравнений, то найдем, что некоторые из этих действий, как, например, извлечение квадратного корня из числа, не являющегося точным квадратом, станет невозможным, если мы не расширим наше понятие о числе и не введем иррациональные числа, как в гл. I.

Другие действия, как, например, извлечение квадратного корня из — 1, остаются и при этом невозможными, если мы не пойдем еще дальше и не введем комплексные числа, как это сделано в настоящей главе. Естественно предположить, что когда мы будем рассматривать уравнения высших степеней, то некоторые из них могут оказаться неразрешимыми даже в терминах комплексных чисел, и что мы, таким образом, столкнемся с необходимостью ввести числа еще других типов. Тот факт, что корнями любого алгебраического уравнения являются обычные комплексные числа, показывает, что это не так.

Все теоремы элементарной алгебры, которые доказываются применением только правил сложения и умножения, остаются в силе, независимо от того, являются ли числа, встречающиеся в них, действительными или. комплексными, так как эти правила применимы к комплексным числам так же, как и к действительным. Например, если мы знаем, что а и ? являются корнями уравнения

az*-\-2bz+c=0,

то

Аналогично, если а, ?, у—корни уравнения

агг + 3&z2 -J- Zcz -\-d = 0,

то

«+P+T = -f, Рї + ї« + ар = 2,

') См. Приложение J,

Комплексные числа

89

Все такие теоремы справедливы, независимо от того, являются ли a, b, ..., а, ?,... комплексными или действительными числами.

44. Диаграмма Аргана. Пусть P (фиг. 21)—точка (х, у), г обозначает длину OP и б—угол ХОР, так что

;e = rcosQ, _y = rsin6, г=|/х9-}-

tee

Как в п. 43, мы обозначаем комплексное число x-\-yl через z и называем z комплексным переменным. Мы называем, далее, P точкой г, или точкой, соответствующей z;z называется аргументом* Р, X — действительной частью, у — мнимой частью, г—модулем н б — амплитудой z. Мы будем писать

x = Re(.z), j' = Im (г), r=\z\, 8 = amz.

z действительно, если х = О,— -yi и X—yi, которые отличаются

Если _у = 0, мы говорим, что что z чисто мнимо. Два числа х-голько знаком их мнимой части, называются сопряженными. Следует отметить, что сумма двух сопряженных чисел 2х и их произведение х"-|-_у9 оба действительны и что модули сопряженные чисел равны между собой и равны |/хг -\-уъ, так что их'про-изведение равно квадрату модуля каждого из них. Корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами, например, являются сопряженными числами, если они не действительны.

Заметим, что б или am z является многозначной функцией от х и у, имеющей бесконечно много значений, которые отличаются друг от друга на целые кратные 2тс Прямая, совпадающая с ОХ, будучи повернута на любой из этих углов, примет положение OP. Мы назовем тог из этих углов, который заключен между —тс и тс, главным значением амплитуды z. Это определение однозначно во всех случаях, кроме того, когда одно из значений равно тс, так как в этом случае — тс также является одним из значений. В этом случае мы должны

Фиг. 21

') Очевидно, что |zl совпадает с полярной координатой г точки P и что другая полярная координата 8 является одним из значений amz. Это значение не обязательно является главным значением, которое определено дальше в тексте, так как, по п. 22, полярная координата заключена между 0ги 2тг, тогда как главное значение заключено между —гиь

90 Глава третья

') В целях краткости обозначений иногда будет удобно писать CisS вместо cos 8 4- І sin 9. В этих обозначениях, предложенных проф. Харкнессом и проф. Морлеем, теорема Муавра примет вид: (Cis8)" = Cis/i8. [Это обозначение в русской литературе, и почти нигде в иностранной литературе, не применяется. —Прим. перев.]

сделать специальную оговорку о том, какое из этих двух значений считается главным. В дальнейшем, говоря об амплитуде z, мы будем, как правило, иметь в виду ее главное значение. Фиг. 22 обычно называется диаграммой Аргана.
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed