Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
C = A--f-{— [arc sinM 4-Пп [L 4- YI2-^!}],
где arc sin M заключен между 0 и I-. Найти решение в остальных случаях.
12. Решить уравнение tgC = a, где а — действительное число. [Все корни этого уравнения действительны.]
13. Показать, что общим решением уравнения tgv = a-[-/?, где р^О, является
где 0 — наименьший по абсолютной величине угол, для которого
1-а2— р . 2а
cos 9 = —__, sin Є = —-, - — .
Y(I-а- — p2)a + 4а2 Yi1 — =2 — ^2)2 + 4а2
14. Доказать, что
I exp exp (S + г'г,) I = exp (exp S cos tj), Re (cos cos (Jj + щ)} = cos (cos ?j ch tj) ch (sin S sh tj), Im {sin sin (S + щ)} = cos (sin S ch sh (cos S sh к]).
15. Доказать, что | exp ї 1 стремится к с», когда С стремится к бесконечности вдоль любого луча, исходящего из начала координат и образующего
с действительной осью угол, меньший y г'> и стремится к 0, когда ? стремится к бесконечности вдоль такого же луча, но образующего с действительной осью угол, заключенный между ~ и -.
16. Доказать, что j cos ^ ) и j sin С I стремятся к оо, когда ? стремится к бесконечности вдоль любого луча, исходящего из начала координат и не совпадающего ни с одной из действительных полуосей.
17. Доказать, что tg С стремится к —/ или к г, когда Ї стремится к бесконечности вдоль любого из лучей, указанных в примере 16, причем пределом будет —і, если этот луч проходит над действительной осью, и I, если он проходит под действительной осью.
241. Связь между логарифмической и обратными тригонометрическими функциями. В гл. Vl мы видели, что интеграл от дробно-рациональной или алгебраической функции tp(x, а, р, ...), где а, р, ... — постоянные
472
Глава десятая
часто принимает различные формы, в зависимости от значений а, иногда он выражается через логарифмы, а иногда — через обратные тригонометрические функции. Так, например,
dx 1 . х
если а > 0, но
х — У~—-д 1
J
dx 1
—=—р—=-,__—- !п
х2 + а 2-jA— а
X+ Y- о.
(2)
если й-<0. Эти формулы указывают на то, что должна существовать какая то функциональная зависимость между логарифмической и обратным» тригонометрическими функциями. Что такая зависимость действительна существует, можно видеть из того, что, как мы уже видели, тригонометрические; функции от с выражаются через ехр/С и'что логарифм является функцией обратной показательной функции.
Рассмотрим внимательнее соотношение
J
dx 1 , X-
7,-ґ = т7- ІП
2а х + а' X — а
которое имеет место, если а действительно и- пол-ожительно. Если бьв
1 л;-4-а
мы могли в этом уравнении заменить а на ia, то пришли бы к формуле-arc tg — = 71|п?+4?+С (3> a 2l X-j- la 1 г
где С — постоянная, и поскольку мы уже определили .тогарифм от комплексного числа, то возникает вопрос, справедливо ли ато соотношение или нет. По предыдущему (см. п. 231),
Ln [х ± ia) = -i In (Xі + а2) ± і (9 + 2k~),
где k — целое число и ю —наименьший по абсолютной величине угол, дла которого
X . а
COS с = - , — , sin <f = .. - .
Ух* + a2 V^x2 + а»
Таким образом,
1 , х —га 2г X+ га
где / —целое число, а это последнее 'выражение действительно отличагтс®
X
от любого значения arctg — только на постоянное слагаемое. 6 а
Основной формулой, связывающей логарифмическую и обратные тригонометрические функции, является следующая:
1 1+ix ,.v
arctgx^LnAx", <4>
где X действительно. Эту формулу легче всего проверить, полагая в не& x=tgy, причем правая часть сведется к выражению
1 . COSy+!Siny 1,/ <т ч it,
_ Ln-у . . у —-аг Ln(ехр 2гу) —у + k~,
2i cosy —t sin у 2i v v
где k — любое целое число. Таким образом, уравнение (4) „полностью" верна (см. пример XCIV. 3). Читателю предлагается также проверить формулы
Общая теория логарифм., показат. и трагонометрич. функций 473-
arc cos х = — і Ln (х ± і yi — х2), arc sin х = — і Ln (г'х ± УI — х2), (5)<
где —l=sCx=sCl. Каждая из этих формул также „полностью" верна. Пример. Решая относительно у уравнение
cos и = х=Цу + ~~У где у = ехр (iu), мы получим: _
у = x ± і УI — X2.
Таким образом, _
и = — і Ln у = — і Ln (X ± і УI — X2),
что эквивалентно первому из уравнений (5). Получить так же уравнение (4>. и второе уравнение (5).
242. Степенной ряд для ехр г11. В п. 219 мы видели, что если. z действительно, то 2
enpz=l+z + ^j+... . (1)
В п. 198 мы также видели, что ряд в правой части остается сходящимся (и даже абсолютно), когда Z-—'Комплексное число. Естественно предположить, что уравнение (1) также остается в силе, и* мы теперь докажем, что это действительно так.
Пусть сумма ряда (1) обозначена через F (z). Так как ряд абсолютно сходится, то непосредственным перемножением (как в примере LXXXI. 7) мы убедимся, что F(Z) удовлетворяет функциональному уравнению
F(Z+ K) = F(Z)F (К), (2>
и, в частности, что
F (X+ Iy) = F (X)F(Iy).
Но
F(x)=l+x-[-? + ... = e*,
и
F(iy)=l — yL-L. |i — ... +і'уу — + ...) = cos j/-f isiny. Следовательно,
