Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Прямым в плоскости Z, для которых X илн Y постоянны, соответствуют окружности и лучи, для которых 2 или 9 постоянны. Каждому лучу соответ-
Общая теория логарифм., показані, и тригонометрии, функций 487
ствует вся прямая, параллельная ОХ, но окружности, для которой z постоянно, соответствует только часть длины 2а прямой, параллельной OY. Для того чтобы Z описало всю такую прямую, z должно неограниченное число раз описывать окружность в одном и том же направлении.
15. Показать, что прямой линии в плоскости Z соответствует логарифмическая спираль в плоскости z.
T.Z
16. Рассмотреть аналогично отображение z=cch— и, в частности,
показать, что всей плоскости z соответствует любая из бесконечного числа полос в плоскости Z, параллельных OX и имеющих ширину 2а. Показать также, что прямой X = X0 соответствует эллипс
с ch ¦
с sh
_ -/
и что эти эллипсы образуют для разных значений X0 софокусную систему; кроме того, показать, что прямым Y= Y0 соответствует система гипербол, софокусная этим эллипсам. Проследить движение г, когда Z описывает всю прямую X^=X0 или Y=Y0. Как движется Z, когда z описывает вырожденный эллипс и вырожденную гиперболу, состоящие из отрезка оси между фокусами и два дополнительных к нему отрезка?
17. Проверить, что результаты примера 16 согласуются с результатами примера 14 н примера 26 из Разных примеров к гл. III.
[Отображение
z = с ch — а
может рассматриваться как состоящее из отображений
1 / , 1 \ t.Z .
z = cz1, z1 = ^(z-А-—\ zs = exp—.]
r.Z
18. Рассмотреть аналогично отображение z = c th — и показать, что прямым X=X0 соответствует пучок соосных окружностей
Г tu 2r.X0y , . . .,2г.Х0
j X — с cth ——°Л 4-у" = сг cschs —^ ,
а прямым Y=Y0 — ортогональный пучок соосных окружностей.
19. Стереографическая проекция и проекция Меркатора. Точки единичной сферы, центр которой расположен в начале координат, проектируются из южного полюса (координатами которого являются 0, 0, —-1) на касательную плоскость к сфере в северном полюсе О. Координаты точки на сфере обозначим через %, ij, t, а декартовы координаты в касательной плоскости выберем так, чтобы оси OX и OY были параллельны осям % и ij. Показать, что координатами проекции точки -щ, ? являются
х=-%-
и что X + iy=2 tgв Cis ср, где <р — долгота (измеряемая от плоскости щ = 0),
а в — широта точки, измеряемая от северного полюса.
Эта проекция дает карту сферы, называемую стереографической проекцией. Если мы введем новое комплексное переменное
Z = X A- iY = — і 1 n ~- z = — і In 4- (X + Iy),
488
Глава десятая
так что X=vf, Y = In ctg 9, то получим другую карту в плоскости Z,
называемую обычно проекцией Меркатора.Ив этой карте параллели широты и меридианы представляются прямыми линиями, параллельными осям X и, соответственно, У.
20. Рассмотреть отображение
, Z— а
и показать, что прямые линии a- = const., Hy = const., соответствуют двум ортогональным связкам окружностей в плоскости Z.
21. Рассмотреть отображение
. Vz^a+VJ^b
Z = Ln 1-г_ -
Vb-а
и показать, что прямые a- = const, и у = const, соответствуют системам софокусных эллипсов и гипербол с фокусами, расположенными в точках Z = a и Z=b.
[Мы имеем __
У Z^Il+V Z- b = V b — atxp (x + iy),
У Z — а — У Z— b = Vb — а ехр (—x—iy), а отсюда можно вывести, что
\Z—а \ + \ Z-b\ = \b —а \ch2x, \ Z-а ] — j Z — b | = [ b — а | cos 2у.]
22. Отображение z = Z{. Если Z = Z', где под мнимыми степенями понимаются их главные значения, то мы имеем
ехр (In г + Щ = z = ехр (i In Z) = ехр (HnR- в),
так что In г = —0, 9 = In R -\-2Ы, где k — целое число. Так как все значения k дают одну и ту же точку г, то мы можем предложить k = 0; в этом случае
In ґ = — @, 6 = In R. (1)
Вся плоскость Z покрывается, когда R пробегает все положительные значения, а в — все значения от — я до к; тогда г изменяется в пределах от ехр (—к) до ехр-, а в пробегает все действительные значения. Таким образом, вся плоскость Z соответствует кольцу, ограниченному окружностями г=ехр(—г), г = ехр к, но это кольцо покрывается бесконечно много раз. Но если 0 изменяется только в пределах от —~ до к, так что кольцо покрывается только один раз, то R может изменяться только от ехр(—•r) до ехр г, так что изменение Z ограничено кольцом, во всех отношениях подобным тому, в котором изменяется z. В каждом из этих колец следует, кроме того, представить себе барьер вдоль отрезка отрицательной действительной оси, который точка z (или Z) не должна переходить, так как ее амплитуда не должна выходить за пределы —г и ті.
Таким образом, мы получаем соответствие между двумя кольцами, которое задается уравнениями
z=Zl, Z = z-\
где имеются в виду павные значения степеней. Окружностям в одной плоскости с центром в начале соответствуют в другой плоскости прямые, проходящие через начало.
23. Проследить движение г, когда Z, исходя из точки ехр г, движется вдоль большей окружности в положительном направлении к точке — ехр г, затем вдоль барьера, затем в отрицательном направлении вдоль малой
