Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
jj{g (*, У) dx + h (х, y)dy\, (ц
Общая теория логарифм-, показат. и тригонометрии- функций 455
где g и h—-непрерывные функции от X и у, как обычный определенный интеграл, получаемый-в результате формальных подстановок X = cf (t), y = ty(t), т. е. как
Jte(?> тОф' + Мф.т'Шл.
Дугу С мы называем путем интегрирования. Допустим теперь, что
z = x-T-iy = cf(t)-\-i^(t)
и что z описывает дугу С на диаграмме Аргана, когда t изменяется от t9 до t1. Допустим, далее, что
f(z) = u-\-iv
является многочленом относительно z или дробно-рациональной функцией от Z. Тогда мы определяем
dz
(2)
с как
J
(к -j- iv) (dx -j- id)>),
с
что, в свою очередь, определяется как
j(udx — vdy) -f- і J (vdx~\- udy).
230. Определение LnC Пусть C = S-J-JYj—любое комплексное число, отличное от нуля. Мы определяем LnC1 общий логарифм (натуральный) от С, равенством
LnC = Jf,
с z
где С — кривая, соединяющая точку 1 с точкой С и не проходящая через начало координат. Так (фиг. 50), пути (а), (Ь), (с) являются такими путями, которые имеются в виду в определении. Значение Ln С, таким оэразом, определено,если выбран путь интегрирования. Но пока неясно, как значение Ln С зависит от выбранного пути. Допустим, например, что С действительно и положительно, скажем равно ?. Тогда одним из возможных путей интегрирования является ¦отрезок прямой между 1 и 5, который мы можем задать уравнениями. X = г, у = 0. В этом случае, при этом частном выборе пути,
456
Глава десятая
f
Фиг. 50
так что LnS равен In 5Я логарифму натуральному от S, определенному в предыдущей главе. Таким образом, одним из значений LnS, когда S действительно и положительно, во всяком случае является InS. Но в этом случае, как и в общем случае, путь интегрирования может быть выбран бесконечным числом различных способов. Ничто не указывает на то, что
каждое значение Ln S равно In S, и мы увидим, что это в действительности не имеет места. Поэтому мы и применяем обозначение Ln С, Ln S вместо In С, In S*). Функция Ln S может оказаться многозначной, причем InS может быть лишь одним из ее значений. В общем случае, по крайней мере в свете того, что мы пока знаем, могут представиться три возможности, а именно:
(1) мы можем всегда получать одно и то же значение LnC, независимо от того пути, по которому мы интегрируем от 1 до С,
(2) мы можем получать различные значения для различных путей,
(3) мы можем иметь некоторое число различных значений, каждому из которых* соответствует целый класс путей.
Из нашего определения никак не следует, какой из этих трех случаев действительно имеет место.
231. Значения LnC Пусть р и 9 будут полярными координатами точки Z = C, так что
С = р (cos ср —[— г sin ср).
Предположим пока, что —л<^ф<^5г, тогда как р может иметь любое положительное значение. Таким образом, С может иметь любое значение, отличное от нуля и действительного отрицательного числа.
Координаты (х, у) любой точки на пути С являются функциями от t и полярные координаты гиб также являются функциями от t. Далее,
*) Автор применяет во всей книге обооначения log вместо In, что также широко принято. Соответственно этому он пишет Log вместо Ln. (Прим. перев.)
dx 4- idy х + іу
]хЪу[а1 + 1ач)М>
Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 45Z'
так что
LnC = JIgA+//g^=[lnr] + *[8j,
где [In г] означает разность значений In г в точках, соответствую*-щих t = tx и t = t0, и [6] имеет аналогичный смысл. Ясно, что
[In г] — In р — In 1 = In р,
но значение [6] требует более внимательного рассмотрения. Предположим сперва, что путь интегрирования является прямолинейным отрезком от 1 до С. Исходным значением 6 является амплитуда 1 или, точнее, одна из амплитуд 1, т. е. 2 Ы, где k—любое целое
Pl
Фиг. 51
і
У
-—*¦------уА
V. .
/I
1/0 /
a j Iq х
Фиг. 52
число. Допустим, что исходное значение 6 равно 2 kit. Из фиг. 51 ясно, что с изменением t значение 8 возрастает от 2 Ы до 2 Ы + ср. Таким образом,
[8]=(2Ьг + ср) — 2Ь: = ф
и, следовательно, когда путем интегрирования является прямолинейный отрезок,
Ln C = In р+/ф.
Это частное значение Ln С мы будем называть главным значением. Когда С — действительное положительное число, С = р и 9 = 0, так что главным значением Ln С является обычный натуральный логарифм от С, In С. Поэтому целесообразно и в общем случае обозначать, главное значение LnC через InC. Таким образом,
InC = JnP-L-ZcP,
в силу определений п. 229. Но .xr = rcos6, .у = г sin 6, и
dx , .dy I ndr . с d8\ , . / . я dr , Ла&\
s+*^=(cose^-rsine5?J+*(smes+rcoseA) =
= (cos 8 + і sin 6) (J+ irg),
158
Г лава десятая
и главное значение характеризуется тем, что его мнимая часть заключена между —к и 1С.
Далее рассмотрим любой путь, обладающий тем свойством, что область, заключенная между ним и прямолинейным отрезком от 1 до С, не содержит начала координат; два таких пути показаны на фиг. 52. Легко видеть, что вдоль такого пути [6] попрежнему равно ер. Например, вдоль пути, показанного на фигуре непрерывной линией, 6, в исходной точке равное 2&тг, сначала убывает до значения
