Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
CoSiC = ChC, sint'C=tshC, ch/C = cosС, sh« C=I sin 5.
Мы видели, что любая элементарная тригонометрическая формула как, например, cos 2 C = COS8C — sin2 С, остается в силе и в том случае, когда для 5 допускаются комплексные значения. Следовательно, она остается в силе, если мы заменим в ней cos С на cos г С, sin С на sin/5 и cos 2 С на cos2«C, т. е. если мы заменим cos? на ch С, sin С на t'shC и cos 25 на ch2C Таким образом,
ch 2С = ch2 С + sh2 5.
Аналогичное преобразование применимо к любому тригонометрическому тождеству. Это объясняет то соответствие, которое было отмечено нами в примере LXXXVIII. 22 между формулами для гиперболических и для обыкновенных тригонометрических функций.
Общая теория логарифм-, показат. и тригонометрии, функций 469
2.
і cos (j + іт;) і = -|/cosa J 4- sha 7] = j/"y (ch 2т] + cos 25),
I sin (; + Jr1) I = Y sin2 ? 4-shsr) = j/~y (ch 2yi — cos 25). [Использовать, например, равенство
I cos (S 4- (V1) I = "l/cos (S 4- Jy1) cos (S — іт,).]
3.
t „ , . . sin25 + ish2T] , . sin25 —ish2rj
tg (l + ">> = Vh 2,+ cos 25 ' CtS(l + ">> = ch 2-n-coiW ' [Например,
_ sin (S+ іт,) cos (g — Jy1) _ sin 25+ sin 2Jy1 tgU-r-'V— cos (?4-t7i)cos (S-її)) ~ cos2?4-cos2iT] *
что приводит к указанному результату.]
cos5 сітт) 4- і sin 5 sh t1
sec (E 4- щ) -
у (ch 2?+ cos 25)
... , , . sin 5 ch •n — і cos 5 sh y1 cosec (5 4-/?) = ——-------
у (ch 2-f] — cos 25)
5. Если j cos(54-іт;) j = 1, то sin25 = sh2t], а если ] sin(54-»? I = 1, то cosa 5 = sh2Tj.
6. Если [?08(54-(-/-,)1 = 1, то
sin {am cos (5 4- ivj)} = ± sin2 5 = ± sh2 y1.
7. Доказать, что Ln cos (5 + ir,) = A + i?, где
A = -2-InJy(Ch 2t)4-cos 25)},
и B — любой угол, для которого
cos В sin УЗ 1
cos 5 ch т) sin 5 shT]
"JZy(Cl^t1+ cos 25) Найти аналогичную формулу для Ln sin (5 + (V1).
240. Формулы для cos (5 -4- щ), sin (5+ »V1) и т. д. Из формул сложения следует, что
cos (5 -f- iTj) = cos 5 cosii] — sin? sin ь)= cos i ch if) — г sin i sh ї], sin (5 + іт]) = sin і cos іт] -f- cos 5 sin h] = sin? ch vj —|— / cos5 sh T1.
Эти формулы имеют место для всех значений 5 и y1. Интересным случаем является тот, в котором 5 и т[ действительны. В этом случае они дают выражения для действительной и мнимой частей косинуса и синуса от комплексного аргумента.
Примеры XCVI. 1. Определить значения для которых cos С и sin С 1° действительны, 2° чисто мнимы.
[Например, cos ? действителен, когда y1 = 0 или когда і кратно к.]
470
Глава десятая
8. Решение уравнения cos S = а, где я— действительное число. Полагая С = 5-(-/7] и приравнівая действительные и мнимые части, мы получим:
cos I chv] = ce, sin?shi = 0.
Отсюда следует, что либо 1 = 0, либо % кратно г.. Если (1) і = 0, то cos 4 = а, что возможно только в том случае, когда —І^з^І. Это предположение приводит к решению
С = 2Ы ± arc cos а,
где arc cos а заключено между 0 и -^r.. Если (2) ^ = тт., то chvj = (—
так что либо a и m—¦ четное число, либо я ^—1 и m нечетно. Если а= ± 1, то 1 = 0, и мы возвращаемся к первому случаю. Если J a j > 1, то ch Yj = I а [, и мы приходим к решениям
С = 2k~±i In {« + ]/я8 — 1 } (a > 1),
С = (2ft + l)*±f ln{— я + ]A~S - 1 } (з < - 1).
g
Например, общим решением уравнения cos J = — является
И = (2к + 1)т.±і1аЗ. Решить аналогично уравнение sin J = я.
9. Решение уравнения cosC = a + «3, где 3^0. Мы можем предположить, что 8 > 0, так как решение в случае ?<C0 может быть получено простым изменением знака при і. В данном случае
cos і chv] = «, sinishi = —8 (1)
и
я8 8s
___(- H = l.
chs і sh21
Если мы положим ch2i = x, то найдем, что
х2 —(1 +а2 + 32)х + я2 = 0
или x = (A1 + A1)3, где
A1 = y 1/"(M-I)2 + ?*, Л2 = і /(я-I)2+ 6*.
Допустим, что я>0. Тогда Лі>Л=.>0 и ChT1 = A1ZhA1. Далее,
cos?= -~ = А, +Ait ch і
а так как chi>cos?, то мы должны положить
сЬі = Л] + Лг, cos? = A1-A3. Общими решениями этих уравнений являются
? = 2?-±arccosM, і = ± In {L + VL* — І}, (2)
u де L= A1+ At, M=Ai-Aa, и arc cos M заключен между 0 и
Таким образом, полученные значения їй? являются, однако, не только решениями уравнений (1), но и уравнений
cos і chi = я, sin і sh 1 = 3, (3)
так как мы использовали второе из уравнений (1) после возведения его в квадрат. Для того чтобы отдетить эти две системы ращений друг от друга.
Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 471
заметим, что знак sin? совпадает со знаком, выбранным в первом из уравнении (2), а знак sh Yj—со знаком, выбранным во втором из этих уравнений. Так как р > 0, то эти знаки должны быть противоположными. Таким образом, искомым общим решением является
С = 2k- ± [arc cos M — і In [L 4- УU^-A}].
Разобрать аналогично случаи, в которых а<0 и а = 0.
10. Если р = 0, то
? = -1[а+і; + 1|а-1| и УИ=1|а+1,_1|в-1[.
Проверить, что эти результаты совпадают с результатами примера 8.
11. Показать, что если аир положительны, то общим решением уравнения sin С = а 4- г? является
