Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
F (z) = ex (cosy +1 sin_y) = exp z,
если Z = X -і- Iy.
Имеется еще другое доказательство, которое представляет интерес, в силу того, что оно не использует степенные ряды для cos_y и s'my.
Если F(iy)=f(y), то f(y+k)=f(y)f(k) и
/(у+*)-m=f(y)f («) -1 =
= '/0O {i + а* + "Ir - • ¦ ¦} = V (У) (1 + P)'
1J Теперь удобнег обозначать аргумент показательной функции через Z,. а не через С.
474
Глава десятая
где
для малых k, так что р стремится к 0 при ?-v0. Следовательно, J(y) дифференцируема и
/'0O = (TXv)-
Отсюда следует, что
g (У) =/Су) (c°sy — і sin у) дифференцируемаДалее,
g' Су) = ;/Су) (cos^ — і ^y) —/Су) (sin^ + і cos^) = о,
так что g(y) постоянна. Следовательно,
g(y) = g(0) = l
и
ч 1 cosy + isiny , . .
f(y) =--—- =-+4-. / = COS V^-I Siny.
J^' cosy—ismy cos2y-{-sm2y 1 -'
Наконец,
F (iy) =/Су) = cos_y -j- і sin у
и
F (лг -j-iy) = F (х) F (iy) = (cos_у -j- ? siny).
243. Степенные ряды для cos z и sin z. Из результатов предыдущего пункта и уравнений (1) п. 238 следует, что
COSS=I-!г-г|г —smz = z —...
лля всех значений z.
Примеры XCVII. 1. Доказать, что
I cos« j ^ch z [, I sin z j =?; sh j z |.
2. Доказать, что если | г | < 1, то | cos г | < 2 и | sin z \ < -=-1 г |.
3. Так как sm2z — 2s\nzcosz> то
(Zz) +------2(г-ж+...^[ 1- — + ...j.
Доказать перемножением рядов в правой части (см. п. 202) и сравнением коэффициентов (см. п. 201), что
1J Следующее в тексте рассуждение содержало в предыдущих изданиях одну любопытную ошибку. Приведенное здесь окончание доказательства предложено Лявом (Love).
Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 475
и аналогично
cos z ch z + г sin z sh z = cos (1 —І) Z =
1 co I \ ?n
= т|2я/чі+(-Щ exP (-T
Следовательно,
1 oo , n oszl 24 2s
coszchz = -i|] 2-/.(1+(-1)я}со8|«я^- = 1-^- + -з*- — .. .j
6. Разложить sin2 z и sin3 z по степеням z. [Применить формулы
sin2 z = y (1 — cos 2z), sin3 z = -^- (3 sin z — sin 3z).
Ясно, что этот метод применим и к разложениям cos" z и sin"z, где п — любое целое число.]
7. Просуммировать ряд
__, cos z cos2z cos 3z o_s'n2 sin2z sin3z
0-1+ j, + ^r~+ ~з!~+ •••> 6_~ТГ + ~2Г + ^Г + --- •
[Здесь
C+H=I+ + expffte> +...=
= exp {exp (Zz)} = exp (cos z) {cos (sin z) +i sin (sin z)}, и аналогично
С — /S= exp {exp (—iz)} = exp (cos z) {cos (sinz) — і sin (sin z)}. Следовательно,
C= exp (cos z) cos (sin z), S = exp (cosz) sin (sin z).]
8. Просуммировать ряды
. . a cos z ,a- cos 2z asinz , a2sin2z ,
і П і oi г • • •>
I1-T 2! ^-"' 3! 2!
Проверить результат с помощью биномиальной теоремы. Вывести аналогичные тождества из уравнений
COS2Z + sin2 z = 1, cos 2z = 2 cos2 г — 1 = 1 —2 sin2 z.
4. Показать, что
exp {(1+04 = 1 2"/sexp(ln«j^-.
5. Разложить cos z ch z по степеням z. [Мы имеем
cosz ch z — і sin z sh z = cos(l -ftjz=-^- (exP {(1 + 0*} + exP {—(I +0 z}\ =
1 со / 1 \ -n
=4 ?^41+(-1)"}exp T»«%-. '
476
Г лава десятая
9. Просуммировать ряды
. cos 2z . cos4z cos z cos3z
2! ' 4! '"' П ЗІ ^*"-
10. Показать, что
. , cos Az , cos 8z . 1 r . . , . . . , . . . , . .,
1 -)--—j--gj—¦ -f-... = у {cos (cos z) ch (sm z) + cos (sm z) ch (cos z)}.
11. Показать, что разложения cos(x-j-A) и sin(x-|-A) по степеням ft, найденные в (1) п. 152, имеют место для всехх и h как действительных, так и комплексных.
244. Логарифмический ряд. В и. 220 мы нашли, что
1п(1+г) = г-1г« + 1г»-... , (1)
где z действительно и по модулю меньше 1. Ряд в правой части сходится, и даже абсолютно, когда z имеет любое комплексное значение, по модулю меньшее 1. Естественно ожидать, что уравнение (1) остается в силе для всех таких комплексных значений z. Что это действительно так, может быть доказано с помощью рассуждения, аналогичного приведенному в п. 220. Мы докажем даже больше, а именно, что (1) имеет место для всех значений 2, для которых \z 1=?!, за единственным исключением z = —1.
Читатель вспомнит, что In(I-}-z) является главным значением Ln (1 -|~ г) и что
..a+.>=J%.
с
где С—прямолинейный отрезок, соединяющий точки 1 и 1 -\-z в плоскости комплексного переменного и. Мы можем предположить, что z не является действительным числом, так как формула (1) была уже доказана для действительных значений z. Если мы положим
Z = г (cos 6 -|- і sin в) = Cr,
так что j г )=? 1, и
и = 1 4- С/,
то и описывает путь С, когда t возрастает от 0 до г. Кроме того,
.) и — Jr+o-С о
= J(C - гЧ + гН-г _... + (_! у*-W-i +Ц^9^} dt =
— "Г 2^3 —¦•¦-1-(—X> -^- + ^m —
= 2--2- + V- ••• + (-1)"1"1^ + ^. (2)
Общая теория логарифм., показат. и тригонометрия, функций 477 где
Rm = (-l)m^l{~. (3) 6
Из неравенства (1) п. 170 следует, что
I #« MsJ \т+лЬ\' (4)
