Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
о
Но f 1 —I— j или |к| никогда не меньше»—длины перпендикуляра, опущенного из 0 на прямую С *). Следовательно,
t
1 С rm+i 1
I Rm I ^ V J ^ = (/й + 1)ш ^(т + І)ш '
о
и, таким образом, ->- 0 при /те оо. Из (2) теперь следует, что 1п(1+г) = г—!«' + ¦g-«8—... . (5)
В процессе доказательства мы показали, что ряд сходится; однако, это было доказано раньше (см. пример LXXX. 4). В действительности ряд сходится абсолютно при jz|<^l и условно при JzJ = 1.
Заменяя z на — z, мы получаем
lnrf- = -ln(l-z) = z4-^^ + T23+--- (6)
для JzJsS 1, Z-zfz 1. 245. Далее,
In (1 4- z) = In {(1 -j- г cos 6)4-«rsin6} =
= у In (1 4- 2r cos 6 4- /») 4-і arc tg . ^sin9 .. 2 і і -» і h 1 r cos9
Здесь следует взять то значение арктангенса, которое заключено
между— 2 тс и у тс. В самом деле, так как 1 -j-z является вектором,
представляемым отрезком от — 1 до z, то главное значение am (1 -\-z) всегда заключено между этими пределами, когда z лежит внутри круга Jz) = I 2).
') Так как г не лежит на действительной оси, то продолжение С не проходит через О. Читателю рекомендуется нарисовать фигуру, иллюстрирующую рассуждение в тексте.
8) См. предыдущую сноску.
478
Глава десятая
Так как zm = rm (cos mb + і sin /иб), то, приравнивая действительные и мнимые части в уравнении (5) п. 244, мы получаем
-i In(I -j-2r cos Є-j-г2) = г cos Є — і г2 cos 26-f|r3cos ЗО — ... ,
arc *g і +г cos е "r sin 6 — T ^^26+ -irssin36 —....
При O=Sr=^l эти уравнения имеют место для всех значений 6, за исключением того случая, когда г=\ и 6 равно нечетному кратному т:. Нетрудно видеть, что они также имеют место при— 1 г О, за исключением того случая, когда г =—1 и 6 равно четному кратному тс.
Особенно интересным является тот случай, когда r=l. В этом случае мы имеем
In(I +Z) = In (1-і- Cis 6) = L ln(2-j-2cos6)-j-iarctgT~L_ =
= lln (4cos*le j +~iB, если —т:<^6<^7г, и, следовательно,
cos 6 — -і cos 26 -f ~ cos 36 —... = і In (4 cos2 -і- 6),
sin 6 — -і sin 26 + ¦i sin 36 — ... = -і- 6.
Для других значений 6 суммы этих рядов легко находятся в силу того, что они являются периодическими функциями от 6 с периодом 2тс. Так, сумма ряда косинусов равна
1 In (4 cos* 1 б)
для всех значений O, кроме нечетных кратных гс (для этих значений ряд расходится), а сумма ряда синусов равна і (6 — 2?тс),
Фиг. 54
если (2k—1) тс <^ 6 <^ (2?-4- 1)тс, и равна 0, если 6 равно нечетному кратному я. График функции, представленной рядом синусов, изображен на фиг. 54. Эта функция разрывна при B = (2k+ 1)тс.
Общая теория логарифм., показам- и тригонометрии, функций 479>
Если мы в (5) заменим iz на —iz и вычтем полученное соотношение из исходного, то мы найдем, что
~ In I lZ = z—\ z3 4-4-г5— ....
Li 1—iz 3 '5
Если z действительно и по модулю меньше 1, то, в силу результатов-п. 241, мы приходим к формуле
arc tg z = z —-j z6 -f- Tj- zJ — ... , уже доказанной другим способом в п. 221.
Примеры XCVIH. 1. Доказать, что в любом треугольнике, в котором а>Ь,
1пс = 1па--cos С--^-г cos 2С— ... •
а 2а'1
(Экз. 1915 г.>
[Применить формулу
In с = -i- In (а2 4- #2 — 2 ab cos С).]
2. Доказать что, если — 1 < г< 1 и — -І - < 9 < у л, то
/¦sin29 — -i-/-2sin464--ir3sin66— ... =6 — arctgj jqr^tgO },
причем значение арктангенса заключено между--~к и уОпределить-
сумму ряда для других значений б.
3. Доказать, рассматривая разложения In (1 + iz) и In(I- iz) по степеням z, что если — К г < 1, то
/¦sin94-y rs cos 29— у г5 sin 36 — і- rj cos 46 4- ... = -і In (1 4-2r sin94-r2),.
/¦cos9 4-4-rssin29 — ^r3COsSO-4sjn 49 4- •¦• =arctgl .,
'2 о 4 ь 1 — rsinO
1 з . o„ . I1 14-2rsin6 4-/-s
г sin б — -s- r sm 394- ... = -7- In , „—г-^г4—;, 3 4 1 —2rsm9 4-r2
r cos 9--0 r3 cos 3 Q 4- • - ¦ = -к- arc tg —--^
o 2. 1 — г"
1 1
где значения арктангенсов заключены между—^71 и у
4. Доказать, что
cos 9 cos 9 —у cos 29 cos2 6 4-у cos 39 cos3 9— ... =-i]n(l 4-3coss9),
sin 9sin 9 — - j sin 29 sin29 4- -i sin 39 sin3 6 — ... = arc ctg (1 4- ctg94-ctg2 6)„
¦480 Глава десятая
¦что стремится к пределу ^ g при А -v 0. Следовательно,
"{ind+te)} = ^. (3)
1 1 „ „
тде значение арккотангенса заключено между--^ к и z- Найти аналогичные выражения для сумм рядов
cos б sin б — I cos 20 sin2 9 + ... , sin 6 cos 9 — у s'n 26 cos2 6 + ... .
246. Некоторые приложения логарифмического ряда. Пусть z — любое комплексное число, a h — действительное число, достаточно малое для того, чтобы |Аг|<^1. Тогда
In(I+Аг) = hz — I (hzf^ (hzf — ... , ад, следовательно,
±?±& = z + 9(h,z),
•еде
9(A1 Z) = — Аг8+ -g-AV-^??4+ ... ,
I9(A, ^l^lte'Kl+ltel+jAVl+ ...) = I-L^I_)
атак что ер (A, z)-*~0 при А—>-0. Отсюда следует, что
,. 1п(1 + Лг)
lim —j--^—- = г. (1)
л-»о "
Если мы, в частности, положим A=-^, где л — положительное гцелое число, то найдем, что
¦и, следовательно,
Hm ( 1 4-4) "= lim ехР { ?ln ( 1 +~] } = ехр 2. (2)
