Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Это соотношение является обобщением результата, доказанного в п. 215 для действительных значений z.
Из равенства (1) мы можем вывести некоторые другие результаты, которые понадобятся нам в п. 247. Если t и А действительны и А достаточно мало, то
In(I + tz + hz) — In(I + Iz) _ 1 1и і Лг
Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 481
Нам потребуется также формула для производной от (1 A^-tz)"1 по t, где т — любое действительное или комплексное число. Заметим сначала, что если ср (г) = ф (0 Лг Ч. (О — комплексно-значная функция от t, действительная и мнимая части <b(t) и /(г) которой дифференцируемы, то
Й (ехр <р) = jt { (cos X + * sin z) ехр <]• } =
= {(cos/ + іsinX)f + ( — sinX+ /cosx)/' }ехрф = = W + U') (c°s Z + і sin x) exp 4- =
так что правило дифференцирования ехрср остается тем же, что и в случае действительного ср. Следовательно,
Л (l+fe)m=|exp{/«ln(l + fe)} =
= T^jexp{ mln(l + fe) } = mz(\-\-tz)m-\ (4)
Здесь под (l-j-fo)m и (1-|-г.г)т~1 подразумеваются их главные значения.
247. Общая форма биномиальной теоремы. Мы уже доказали (см. п. 222), что сумма ряда
•+С) *+(;)«¦+•••
равна (1 -{-z)m = ехр { т In (1 -\-г)} для всех действительных значений т и всех действительных значений z между—1 и 1. Если ап обозначает коэффициент при zn, то
I т — п I
1»
и+ 1
независимо от того, действительно т или комплексно. Следовательно (см. пример LXXX. 3), ряд сходится для всех z по модулю меньших 1, и мы докажем теперь, что его сумма попрежнему равна ехр { т In (1 -{-Z)}, т. е. главному значению (l-{-z)m. Из п. 246 следует, что если t действительно, то
*t(\+tz)m = mz(\Jrtzr-\
где z и т могут иметь любые действительные или комплексные значения, и в правой и в левой части имеются в виду главные значення. Следовательно, если ср(г) = (1 + tz)m, то мы имеем:
epW(*) = /re(/re — 1)... (т — п-{- l)z"(l -\-tzf~n.
31 Г. Харди
482 Глава десятая
где
1
я»=7я4т)Г J (1 - О""19(п) (0 Л-
о
Положим
и найдем верхнюю грань для Rn, С одной стороны, мы имеем
2 = r(cos6 + isin 6), /re = i* + /v,
Я».
эем
l+fc|<2,
а с другой стороны
[ 1 + tz( = / 1 +2/rcos6 + /V 1 — tr^ 1 — г, причем — тс sc; am (1 + tz) г^тг. Далее,
J Cl -J- te)"*-1 / = ехр {(і* — I)In)I + fc| —vam(l +tz)} = = 11+fc]f.-le-vani(i-r-fc).
ПерВЫЙ МНОЖИТеЛЬ B ЭТОМ Выражении He ПреВОСХОДИТ 2^-1, ЄСЛИ JA 1,
или (1 — г)^-1, если |і<^1, а второй не превосходит е*!7!. Следовательно, I (1 + tz)m~^ I имеет верхнюю грань К, не зависящую от t (и от л); таким образом,
(п-1)!
о
dt
о
Наконец, 1—гг^>1—t, так что
IP і ^-,,1»»(/«—I) •¦• (от —w +1)|
Но
Pn-h _ I т — и 1 г
Эта формула справедлива и при t = 0, так что
я! Uj
Из соотношений (1) и (2) п. 167 следует (если мы вспомним замечание, сделанное в конце п. 170), что
9(1) = 9(0) + 940) + ^+ - +(?ї? + *-.
Общая теория логарифм., показам, а тригонометрии, функций 483
¦+(Г)н-(?К+-
равна ехр {m In(I -\-z) }, где под логарифмом следует понимать его главное значение, для всех значений т как действительных, так и комплексных, и для всех значений z, для которых \ z\<^ll).
Примеры XCIX. Предположим, что т действительно. Тогда, так как In (1 + г) = ~ In (1 + 2r cos в + Ґ) 4-1 arc tg у^.-~д ,
мы получаем
oo
2 (я) an=exp{ymln(1+2rcos0 + 'J)}Cis {т arc tgy^cosoH
о
= (1 4- 2r cos 0 4- г») т/2 Cis im arc tg , f51"9 Л, 1 I 14-/" cos 9 J
1 1
где значения всех арктангенсов заключены между —у г. и у г. В частности, если мы положим 0 = y-, z = ir и приравняем действительные и мнимые части, то мы найдем, что
1 - ( 2 ) Г~ + ( 4 ) Г* - • •' = (1 + ^ CQs(m аГС l§ Г>'
(7I)r ~~ (з)r3 + (1)r* ~ • • •= (1 + r'")m? s[n{m arc tg r) •
2. Доказать, что если 0^г<1, то
1-3 1.3.5-7 _-,/7ї+7«-+1
g . 4Л "Г2 • 4 • 6 • 8 ¦" |/ 2 (14-г») »
1 1 ' 3 ' 5 14. 1 • 3 • 5 • 7 • 9 ъ__ _ /у 14-г'—1 2Г 2 • 4 - 6 ' + 2 . 4 • 6 - 8 - 10 ^ ----J/ 2(14-/'*) '
[Положить W = — у в последней формуле из примера 1.]
') Более полное рассмотрение биномиального ряда, включая и более трудный случай, в котором | z | = 1, читатель найдет в книге Bromwich, Infinite series (2-nd edition), стр. 287 и сл.
зі*
и, следовательно (см. пример XXVII. б), р„—> O. Отсюда следует, что Rn-*-0, и мы приходим к следующей теореме. ТЕОРЕМА. Сумма биномиального ряда
т
48t Глава десятая
e(ik +1) «V. cos |1(4* + 1)«Іп2},
где k — любое целое число.
2. Если a cos 9 + Ь sin 9 4- с = 0, где а, Ь и с действительны и с- > а2 + Ь1, то
q г •, I с f + V <? — я" — *s 8 = /Я тг + a ± tin і— L-L_?___--
где «г — любое нечетное или любое четное целое число, в зависимости от того, положительно ли с или отрицательно, а а — угол, косинус которого
а Ь
равен r , а синус которого равен—=====-.
Va* + b* / Уа* + Ь*
3. Доказать, что если z = relb и г<1, то мнимая часть In(I +гг) —1п(1—гг) (где имеются в виду главные значения логарифмов) равна тому значению
