Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
2rcos9
arc tg -
1-
которое заключено между —^11 и (Элгз. 1916 г.)
3. Доказать, что если —^ тс < О < і z, то
4 4
cos т 9 = cosm 9 |l — ^ 2 ] igs9 + ( 4 ) tg4 9 — ...J,
sin/я S = cos"» Є j^j tg 0 — tgs9-f-...}
для всех действительных значений т.
[Эти результаты сразу следуют из уравнений
cos т 9 -f- г sin mb = (cos 9 -f- г sin 9)m = cos"' Q(I -4- r tg 9)m.]
4. Мы доказали (см. пример LXXXI. 6) непосредственным перемножением рядов, что
/с .>-2 ft)-.
где J z I < 1, удовлетворяет функциональному уравнению
/ (т, г) f(m',z) = f(m-j- т', г).
Методом, аналогичным использованному в п. 223, и не опираясь на общий результат, приведенный на стр. 483, доказать, что если т действительно и рационально, то
/(»;, z) = exp [т In(I -f-z)}.
5. Если ги|і действительны и — 1 <z< 1, то
Z"= cos {(, In (1 + z)} + і sin ^ in (1 + Z)}.
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. X 1. Показать, что действительная часть /1п *1 —') равна
Общая теория логарифм., показат. а тригонометрии, функций 485
4. Показать, что если х действительно и A = а 4- ib, то
d Г* 1
-q ехр Ax = А ехр Ах, I txp Ахах^=-дЄХ$ Ах.
Вывести результаты примера LXXXVIII. 5.
5. Показать, что если а>0, то
OO
J ехр {-(а -f ib) х} dx= —j-^i о
и вывести результаты примера LXXXVIII, 6.
6. Дан эллипс
Пусть f (х, у) обозначает члены высшей размерности в уравнении некоторой алгебраической кривой. Назовем эксцентрическим углом пересечения эллипса и этой кривой угол а, для которого
/ (a cos a, b sin а) 4-,.. = 0.
Тогда сумма эксцентрических углов отличается на кратное 2г. от
— г {In/(с, ib) — In/(а, — Щ].
[Для эксцентрических углов
'{И' + т).-т»Ы}+---
где U = ехр ja, и ?а равна одному из значений —i LnP, где P равно произведению корней этого уравнения.]
7. Определить число и приблизительное положение корней уравнения Xgz = az, где а действительно.
[Мы уже знаем (см. пример XVII. 4), что это уравнение имеет бесконечно много действительных корней. Пусть теперь z = x-\-iy. Приравняем действительные и мнимые части. Тогда мы найдем, что
sin2x _ sh2y _
i ллс о V _.l _ пЪ% 9ч» *
cos 2х 4- ch 2у ' cos 2х 4- ch 2у
Если ни х, ни у не равно нулю, то отсюда следует, что
sin 2л: _ sh 2у ~~~~2х 2у~'
но это невозможно, так как выражение в левой части по модулю меньше I, а выражение в правой части по модулю больше 1. Следовательно, либо л; = 0, либо у = 0. Если у= 0, то мы получаем известные уже действительные кории уравнения. Если л: = 0, то thy = ay. Легко видеть, что это уравнение не имеет действительных корней, кроме 0, если д=<С0 или а^1, и что оно имеет два действительных корня, отличных от нуля, если 0<o< 1. Таким образом, существуют два чисто мнимых кория, если 0<д<1.В противном случае все корни действительны.]
8. Уравнение \gz = az4-b, где а и b действительны и ?=)=0, не имеет комплексных корней, если а^.0. Если д>0, то действительные части всех
комплексных корней по абсолютному значению больше ^ і •
486
Глава десятая
а
9. Уравнение tgz =—, где а действительно, не имеет комплексных корней, но имеет два чисто мнимых корня, если а < 0.
10. Уравнение tg2 = ?thcz, где а и с действительны, имеет бесконечно много действительных и чисто мнимых корней, но не имеет комплексных корней.
11. Показать, что если х действительно, то
oo
еахcosbx = [ап- ja""2*8 + [") ап~1 *' — •••},
о
где скобки содержат (п -f-1) или ¦i- (л+ 2) членов. Найти аналогичный
ряд для г0* sin bx.
12. Если ntp{z, п) -+z при п—у со, то
{I -f- tp (z, я)}" —*¦ ехр г.
13. Если tp (г1) — комплексно-зиачная функция действительного переменного t, то
^Использовать формулы
1 1 1
tp = ii -f-і •/, In 9 = -2 In (4s +/');+ г arc tg •^-.
14. Отображения. В гл. III (см. примеры XXI. 21 и сл., Разные примеры, 22 н сл.) мы рассмотрели некоторые простые примеры геометрических соотношений между фигурами в плоскостях комплексных переменных z и Z, связанных соотношением z = f (Z). Рассмотрим теперь несколько случаев, в которых это соотношение содержит логарифмическую, показательную нли тригонометрические функции.
Предположим сначала, что
-Z а ,
z = ехр —, Z = — Ln z,
где а положительно. Каждому значению Z соответствует только одно значение г, но каждому значенню г соответствует бесконечно много значений Z. Если х, у, г, 9 — координаты z, a X, Y, R, в — координаты Z, то мы имеем следующие соотношения:
т.Х/а -Y жХ/а T.Y
X = е cos — , у — е sin —, X= - In г, У =^ + 2^,
где А—любое целое число.Если мы предположим, что — -<9 г=: -и что LnZ принимает главное значение Inz, то k = 0, н Z должно лежать в полосе, параллельной оси OX и простирающейся иа расстояние а с каждой стороны от нее, причем каждой точке этой полосы соответствует одна точка плоскости z и каждой точке плоскости z соответствует одна точка полосы. Выбирая значение Ln«, отличное от главного, мы получим аналогичное соотношение между плоскостью z и другой полосой ширины 2а в плоскости Z.
