Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
aC = exp(CLn а),
где Ln а обозначает любое значение логарифма а.
Мы должны убедиться в том, что это определение не противоречит нашим предыдущим определениям и содержит их все как частные случаи.
(1) Если а положительно и С-—действительное число, то одно' из значений С Ln а, а именно, С In а, действительно, и ехр (С In а) = е^1п а, что совпадает с определением в гл. IX. Как мы там видели, определение из гл. IX не противоречит определениям, даваемым в элементарной алгебре. Следовательно, и наше новое определение также не противоречит им.
(2) Если a = ех (cos <J> -j- і sin <J>), то
Ln a = т -f- і ((J> -j- 2 пгк), exp (JLn a]==^v?Cis {J (<!> + 2//w)} ,
где m — любое целое число. Легко видеть, что когда т принимает всевозможные целочисленные значения, это выражение принимает q и только q различных значений, которые как раз являются значениями аРіч, найденными в п. 48. Таким образом, наше определение не противоречит и определению из гл. III.
236. Общее значение а>. Пусть
С = % 4~ щ> а — 0 (cos т* 4~г Sln т0>
где—тс <^ (j> sg: иг, так что, в обозначениях п. 235, о = ет или т = 1по. Тогда
С Ln а = (S 4- щ) {In о -f і (.J; 4- 2тк)} = Z. 4~ Ш,
где
L = X In о — Y) OJ) 4-2/як), Л1 = Y) In о 4- ? («І* 4- 2отк),
и
ас = ехр (С Ln а) = еА (cos /И 4-1 sin ЛІ).
464
Глава десятая
Таким образом, общим значением о!- является ег ш ? - ч (Ф+2Я.І) [cos in 0 _)_ ? (ф _j_ 2/гаті:))- -j-
-j-г sin |т) In о -4- $ (<j> -f- 2отиг)}].
В общем случае а" — бесконечно-значная функция. Действительно,
I ar- j = еііпз ~ і * +2ms)
имеет различные значения для каждого значения от, если т) 0. Если же 7) = 0, то модули всех различных значений а> равны между собой. Но любые два значения будут все же отличаться друг от друга, если их амплитуды не равны или их разность не кратна 2иг. Для того чтобы два таких значения совпадали, нужно чтобы ?(<]/-]-2оттг) и і (ф -j- Itnz), где от и п—целые числа, т=/Ьп, отличались друг от друга на кратное 2тг. Но если
І -f- 2/Итс) — і -f- 2/zrc) = 2Ая,
то ? = должно быть рациональным. Мы видим, что беско-
нечно-значно, если С не является действительным рациональным числом. С другой стороны, мы действительно видели, что при С действительном и рациональном а' имеет только конечное число значений.
Главным значением a*= exp(CLna) является то, которое получается при главном значении Ln а, т. е. при т = 0 в общей формуле. Таким образом, главное значение аг равно
е% ш«- чф fc0S (чщ в + S 4<) + f sin (»i In 5 + &!>)}.
Следующие два частных случая представляют особый интерес. Если а действительно и положительно и С действительно, то и= а, 4 = 0> ? = С» і) = 0, и главное значение <? равно 1п а, что совпадает со значением,
Определенным b гл. IX. если ]в| = 1 и С Действительно, то 0 = 1, S = C1 i]=O,
и главное значение (cos і -4- і sin Л )^ равно cos C і-f-( sin C^. Это является дальнейшим обобщением теоремы Муавра (см. пп. 45, 49).
Примеры XCV. 1. Найти все значения іЧ [По определению,
Iі = exp (i Ln і).
Но
( = cos г. 4- і sin у л, Ln і = ^ 2* Ij где k — любое целое число. Следовательно,
гг = ехр{ — (2k + 2J~\ = e
Таким образом, все значения і' действительны и положительны.]
2. Все значения а1" лежат ца диаграмме Аргана в вершинах ломаной, вписанной в логарифмическую спираль, последовательные звенья которой
Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 465
образуют друг с другом равные углы, причем форма спирали не зависит от а.
(Экз. 1899 г.)
[Если
а^ = г (cos 0 4-1 sin 9),
то мы имеем
г=вЕіп.-ч» + аЯіЯ)> в = Ч1пв4-6(ф4-2я1г), и все эти точки лежат на спирали
г= + 4s/5e-4Ve.]
3. Функция е"- Если мы положим а = е в общей формуле, так что In s=lt ^ = 0, то получим
ес = - 2mKi {cos (ti 4- 2mr\) -f і sin (і] + 2ттед.
Главным значением выявляется (cos і]-f-1 sin T1), что равно ехр С (см. п. 233). В частности, если С действительно, то і] = 0, и общее значение будет равно
е^ (cos 2тт;? -f- і sin 2яиг?),
а главное значение будет е^, где е1" обозначает положительное значение экспоненциала, определенное в гл. IX.
4. Показать, что
Ln е;= (1 + 2ттЛ) С + 2птл,
где /я и я — произвольные целые числа, и что в общем случае Ln аС имеет оо2 значений*).
5. Уравнение
полностью верно (см. пример XCIV. 3); оно выполняется также и для главных значений.
6. Уравнение
ас • tf-=(abf"
полиостью верно, но для главных значений оно может не иметь места.
7. Уравнение
яе является полным, но для главных значений оно имеет место.
!Каждое значение правой части является одним из значений левой части, но общее значение а? ¦ а^', а именно,
ехр {? (In а 4- 2mr.i) 4- Z' (In а 4- 2я«')},
как правило не является значением ar" ^ ^ , если »г=?/г.]
8. Каковы соответствующие результаты для уравнений
Lnar-= ^Lnа, (а^ f =(^')5 =ак'?
9. Для того чтобы все значения а^ были действительными, необходимо и достаточно, чтобы
2$ и —(i] In [ а [ 4- і am а),
