Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
(Экз. 1930 г.)
12а Если
x
3 J(I+sec t) In sect dt
*(х) =_2____
' v ' In sec x { x + In (sec x + tg x) } '
то 1° а (x)—четная функция, 2° для малых х имеет место приближенно
I 3 1
равенство с. (х)^1 +^20x4 и 3° а(х)—--^, когда х— -^-71 слева.
(Зкзі 1930 г.)
13. Показать, что ех > Mx , гдг M и N—большие положительные числа, если x больше чем 2 InM и 16 jV3.
[Легко доказать, что 1пх<2]Ах; таким образом, приведенное неравенство заведомо выполняется, если
x>lnM + 2N]Ax,
и поэтому выполняется, если х>\пМ, -jx> 2 TV]Ax.]
14. Показать, что последовательность
ах=е, а2 = е , аг = е , ...
стремится к бесконечности быстрее любого члена показательной шкалы.
[Пусть Єі(х) = е*, е2(х) = еЄі{-х^ и т. д. Тогда, если ^ (х)—-любой член показательной шкалы, an>ek(n) при n>k.]
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 1і5
л1п{і(1+х"/«)}-,_і-1пх
при п—>со. [Мы имеем
л In j L(I +-Л") |=л1п ( 1 — 2-(1 — лг1/я) J = L Л (І -Xі/») -LL я>
где « = L(I—лг'/я). Теперь использовать результаты п. 216 и примера LXXXIII. 3.]
17, Доказать, что если а и Ь положительны, то
[Прологарифмировать и применить результат примера 16.]
18. Показать, что
1+| + Т+---+2-„--1^Т,П,г+1п2 + Т'+0(^
где •{ — постоянная Эйлера (примера XC 1).
19. Показать, что
л . 1 1 , 1 i 1 1 , 1 , 3 , о
1 + 3 + T + T-T+ ?+••• =Tta2'
где в левой части два положительных члена чередуются с одним отрицательным, а сам ряд является перестановкой ряда 1 —4" + "!г—•••• {Сумма первых Зя членов равна
1 , 1 , , 1 1 , 1 , ,M
1^T+S-+ ¦•• +-41T=I-2 [1+-2 + + я-) =
= Lln2« + ln2 + LY + o(l)-L{lnra + Y + o(l)}.]
20. Доказать, что
л j
где Sn = 1 + 2 + • • ¦ + ~ ' IDn- 1 + "g" + • • • + 2п=1' Вывести> 410 СУМ" ма соответствующего бесконечного ряда равна
— 3 + 4-шЗ + 21п2.
(Экз. 1905 г.)
15. Если р и q — положительные целые числа, то
-I-+JL—L .. + L_i„* рп-\-1 рл-т-2 ' qn р
при л —оо. [См. пример LXXVIlL 7.]
16, Доказать, чго если х положительно, то
446
Глава девятая
21. Доказать, что суммы рядов
со со со со
Zi 4л2 — 1 ' Z 4л2 — 1 ' Z (2л + I)1 — 1 ' Z (2л 4- If — I ill 1
11 111,-1 равны, соответственно, , -у ^ — у > -у , у Ш 2--у.
22. Исследовать сходимость рядов
!(*-"-?)'¦ 2""">~"""-
In
(Экз. 1925 г.)
л+1
(Экз. 1935 г.)
23. Исследовать сходимость ряда
для всех действительных значений а, Ь, с.
24. Ряд S а„ переставлен следующим образом:
(один член с нечетным номером, два члена с четными номерами, затем четыре члена с нечетными номерами, восемь членов с четными и т. д.). Исследовать, сходится ли переставленный ряд в случае, когда
_(-1Г1 „Jr1ITL
«я- „ > (4 п«—я In(я4-1>-
(Элгз. 1930 г.)
I а\п
25. Доказать, что пЧ~^г) стремится к 0 или к оо в зависимости от того, является ли а числом меньшим или большим е.
26. Доказать, что если а„ = я! е"п~ п~1/2, то
Вывести, что если а фиксировано, a s — целое число, ближайшее кй^я, то
(я+J
27. Если ап > 0 и
(?)
ил я \л2У
(Экз. 1928 г.),
то ап-^Кп~а, где АГ—постоянная. [Действительно,
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 447
где р„ = О [~, j. Следовательно,
я—1 я—1
1п^ = -аУ рч = -я(1пя + Т) + Я + о(1),
1 T1 і
где = ? р„ .]
28. Доказать, что
(g + l)(g+2)... (а+«) „ - > (« + 1)(0 + 2)... (» 4- я) Л '
где —постоянная.
[Применить результат примера 27.]
29. Доказать, что, в обозначениях примера ХС.6, J — сходится и рас-
ходится „одновременно с ?а„.
[В случае сходимости доказательства совпадают. Если 2и„ расходится и un <s„_1, начиная с некоторого значения я, то s„<2s„_1, и расходимость-
^P1Y следует нз расходимости ^~- . Если же un^zsn-t для бесконечного»
чисда значений п, что может иметь место в случае быстро расходящегося.
ряда, то—^:і- для всех таких значений п.] Sn Z
30. Доказать, что если х > — 1, то
(x+lf (х+1)(х + 2) ^(х + 1)(х + 2)(х + 3) ^
+_____2J_____+
^ (X +l)(.v + 2)(л + 3)(х + 4) ^••-
(Экз. 1908 г.>
[Разность между - - и суммой первых я членов ряда равна
(x-f- J.)^
(x+lf (дг + 2)(х + 3)...(х + я+1)
31. Найти предел при х—-оо выражения
Ue+м+...+*^
исследуя все возможные случаи, которые могут представиться.
(Экз. 1886 г.)
32. Общим решением уравнения f (ху) = f (х) f (у), где /—дифференцируемая функция, является Xа прн постоянном а. Общим решением уравнения
f(x+y)+f(x-y) = 2f(x}f(y)
является Ch ах или cos ах в зависимости от того, положительно ли /" (0) или отрицательно.
[При доказательстве второго результата следует предположить, что f имеет производные первых трех порядков. Тогда
2/ (X) + У/" (X) + о = 2/ (X) j / (0) + у Г (0) + 1 ff (0) + о (у'-)},
и, следовательно, /(0)=1, /'(O) = O и /" (х) = /" (0)/(х).]
448
Глава девятая