Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 166

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 191 >> Следующая


(Экз. 1930 г.)

12а Если

x

3 J(I+sec t) In sect dt

*(х) =_2____

' v ' In sec x { x + In (sec x + tg x) } '

то 1° а (x)—четная функция, 2° для малых х имеет место приближенно

I 3 1

равенство с. (х)^1 +^20x4 и 3° а(х)—--^, когда х— -^-71 слева.

(Зкзі 1930 г.)

13. Показать, что ех > Mx , гдг M и N—большие положительные числа, если x больше чем 2 InM и 16 jV3.

[Легко доказать, что 1пх<2]Ах; таким образом, приведенное неравенство заведомо выполняется, если

x>lnM + 2N]Ax,

и поэтому выполняется, если х>\пМ, -jx> 2 TV]Ax.]

14. Показать, что последовательность

ах=е, а2 = е , аг = е , ...

стремится к бесконечности быстрее любого члена показательной шкалы.

[Пусть Єі(х) = е*, е2(х) = еЄі{-х^ и т. д. Тогда, если ^ (х)—-любой член показательной шкалы, an>ek(n) при n>k.]

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 1і5

л1п{і(1+х"/«)}-,_і-1пх

при п—>со. [Мы имеем

л In j L(I +-Л") |=л1п ( 1 — 2-(1 — лг1/я) J = L Л (І -Xі/») -LL я>

где « = L(I—лг'/я). Теперь использовать результаты п. 216 и примера LXXXIII. 3.]

17, Доказать, что если а и Ь положительны, то

[Прологарифмировать и применить результат примера 16.]

18. Показать, что

1+| + Т+---+2-„--1^Т,П,г+1п2 + Т'+0(^

где •{ — постоянная Эйлера (примера XC 1).

19. Показать, что

л . 1 1 , 1 i 1 1 , 1 , 3 , о

1 + 3 + T + T-T+ ?+••• =Tta2'

где в левой части два положительных члена чередуются с одним отрицательным, а сам ряд является перестановкой ряда 1 —4" + "!г—•••• {Сумма первых Зя членов равна

1 , 1 , , 1 1 , 1 , ,M

1^T+S-+ ¦•• +-41T=I-2 [1+-2 + + я-) =

= Lln2« + ln2 + LY + o(l)-L{lnra + Y + o(l)}.]

20. Доказать, что

л j

где Sn = 1 + 2 + • • ¦ + ~ ' IDn- 1 + "g" + • • • + 2п=1' Вывести> 410 СУМ" ма соответствующего бесконечного ряда равна

— 3 + 4-шЗ + 21п2.

(Экз. 1905 г.)

15. Если р и q — положительные целые числа, то

-I-+JL—L .. + L_i„* рп-\-1 рл-т-2 ' qn р

при л —оо. [См. пример LXXVIlL 7.]

16, Доказать, чго если х положительно, то

446

Глава девятая

21. Доказать, что суммы рядов

со со со со

Zi 4л2 — 1 ' Z 4л2 — 1 ' Z (2л + I)1 — 1 ' Z (2л 4- If — I ill 1

11 111,-1 равны, соответственно, , -у ^ — у > -у , у Ш 2--у.

22. Исследовать сходимость рядов

!(*-"-?)'¦ 2""">~"""-

In

(Экз. 1925 г.)

л+1

(Экз. 1935 г.)

23. Исследовать сходимость ряда

для всех действительных значений а, Ь, с.

24. Ряд S а„ переставлен следующим образом:

(один член с нечетным номером, два члена с четными номерами, затем четыре члена с нечетными номерами, восемь членов с четными и т. д.). Исследовать, сходится ли переставленный ряд в случае, когда

_(-1Г1 „Jr1ITL

«я- „ > (4 п«—я In(я4-1>-

(Элгз. 1930 г.)

I а\п

25. Доказать, что пЧ~^г) стремится к 0 или к оо в зависимости от того, является ли а числом меньшим или большим е.

26. Доказать, что если а„ = я! е"п~ п~1/2, то

Вывести, что если а фиксировано, a s — целое число, ближайшее кй^я, то

(я+J

27. Если ап > 0 и

(?)

ил я \л2У

(Экз. 1928 г.),

то ап-^Кп~а, где АГ—постоянная. [Действительно,

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 447

где р„ = О [~, j. Следовательно,

я—1 я—1

1п^ = -аУ рч = -я(1пя + Т) + Я + о(1),

1 T1 і

где = ? р„ .]

28. Доказать, что

(g + l)(g+2)... (а+«) „ - > (« + 1)(0 + 2)... (» 4- я) Л '

где —постоянная.

[Применить результат примера 27.]

29. Доказать, что, в обозначениях примера ХС.6, J — сходится и рас-

ходится „одновременно с ?а„.

[В случае сходимости доказательства совпадают. Если 2и„ расходится и un <s„_1, начиная с некоторого значения я, то s„<2s„_1, и расходимость-

^P1Y следует нз расходимости ^~- . Если же un^zsn-t для бесконечного»

чисда значений п, что может иметь место в случае быстро расходящегося.

ряда, то—^:і- для всех таких значений п.] Sn Z

30. Доказать, что если х > — 1, то

(x+lf (х+1)(х + 2) ^(х + 1)(х + 2)(х + 3) ^

+_____2J_____+

^ (X +l)(.v + 2)(л + 3)(х + 4) ^••-

(Экз. 1908 г.>

[Разность между - - и суммой первых я членов ряда равна

(x-f- J.)^

(x+lf (дг + 2)(х + 3)...(х + я+1)

31. Найти предел при х—-оо выражения

Ue+м+...+*^

исследуя все возможные случаи, которые могут представиться.

(Экз. 1886 г.)

32. Общим решением уравнения f (ху) = f (х) f (у), где /—дифференцируемая функция, является Xа прн постоянном а. Общим решением уравнения

f(x+y)+f(x-y) = 2f(x}f(y)

является Ch ах или cos ах в зависимости от того, положительно ли /" (0) или отрицательно.

[При доказательстве второго результата следует предположить, что f имеет производные первых трех порядков. Тогда

2/ (X) + У/" (X) + о = 2/ (X) j / (0) + у Г (0) + 1 ff (0) + о (у'-)},

и, следовательно, /(0)=1, /'(O) = O и /" (х) = /" (0)/(х).]

448

Глава девятая
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed