Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
J (х+а)і/х^-~ї J ch^ + a ~ J H« + 2ea + l'
и показать, что значение интеграла равно
— arc tg I/ -,
если — 1 < а < 1, и равно
- In у п r,_ == , _ arth I/ -,
У а3 — 1 ]Лг + 1 — ]Лг — 1 ]/аг — 1 " в + 1
если в>1. Рассмотреть случай в=1.
49. Если О < а < 1, О < р < 1, то
_dx _- L In1+^
J1V(I-2ах +as) (l—2px+ps) У a? 1 —]/"ар 50. Доказать, что если а > 6 > 0, то
со
do -
J «<
: ch6+ osho ya*—bi
51. Доказать, что
і і
3 3.3 1 f 5J 1 0- I xsdx = -« ,
о 0
CO
Jinx . 1 . ,> Г И / ^ ,4
——dx=.-гй(/г>1)' It-;—-^m~-i—r(">1)» xn (n 1) J { ^+у^т+!}» ns—1
1 00
f-r—_= 2уз, f — = i(l-ln2),
OO
J1
1
1
J х*УІ ..
OO
dx
(l+e*)(l+<r*) '
29*
(Эжз. 1913, 1928, 1932, 1933, 1934 rr.)
0
452
Глава девятая
52. Доказать, что
1 со со
(' ІП X f In X , І' In
Js+^^-Jt+*** Jr+
о і о
и вывести, что если а > 0, то
co
f In X , т:
I -ft—5 ох = я- Ina.
J а2+xa 2а
о
[Применить подстановки х = -1 и х = аа].
53. Доказать, что
со
Jln(l + 5)dx = ra, о
если a > 0.
[Интегрировать по частям.]
54. Доказать, что
lira (l — tf'nt + fi + P + t"+...) = t-t—o
[Из п. 180 следует, что
J e-x*dx<hZe-**hi < j'e
Положить t = e~h* и устремить И К CO.]
глава x
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
227. Функции комплексного переменного. В гл. III мы определили комплексное переменное1)
z = X 4- iy
и рассмотрели ряд простых свойств некоторых классов выражений, содержащих z, как, например, многочленов P(z). Естественно называть такие выражения функциями от z, и мы действительно уже P(z)
называли отношение > где P(2) и Q(z) — многочлены, „дробно-рациональной функцией". Однако мы еще не дали общего определения того, что называется функцией от z.
Естественно было бы определить функцию от z таким же образом, как мы определяли функцию от действительного переменного jc1 т. е. говорить, что Z является функцией от z, если существует некоторое соотношение между z и Z, в силу которого то или иное значение, или те или иные значения Z соответствуют некоторым или всем значениям z. Но более внимательное рассмотрение этого определения показывает, что оно непригодно. Действительно, если z дано, то даны х и у, и наоборот, если х и у даны, то дано и z\ задать значение z — это то же самое, что задать пару значений переменных хну. Таким образом, по предлагаемому определению, „функция от z" является просто комплексно-значной функцией
/С*. У)+ ig (X1 у) от двух действительных переменных х и у. Например,
X — iy, ху, I z I = УXі 4~.Уа> am 2 = arc tg^-
являются такими „функциями от z". Это определение, хотя оно и является вполне допустимым, бесполезно, так как оно фактически не определяет никакого нового понятия.
J) В настоящей паве иногда удобнее писать хА-іу вместо хА-уі.
454
Г лава десятая
Поэтому представляется более удобным применять выражение „функция комплексного переменного z" в более узком смысле, или, другими словами, выбрать из общего класса комплексно-значных функций от двух действительных переменных X и у некоторый специальный класс и применять это выражение только к функциям этого класса. Разъяснение того, как этот специальный класс определяется, и каковы характеристические свойства функций, входящих в него, вывело бы нас далеко за рамки настоящей книги. Поэтому мы не будем приводить здесь никаких общих определений, а ограничимся только изучением некоторых специальных функций, каждая из которых будет определена непосредственно.
228. Мы уже определили многочлены относительно z (см. п. 39), дробно-рациональные функции от z (см. п. 46) и корни, из z (см. п. 47). Не представляет никакого труда распространить на комплексное переменное определения алгебраических функций, явных и неявных, которые мы сформулировали в случае действительного переменного х (см. п. 26—27). Во всех этих случаях мы будем называть комплексное число z аргументом рассматриваемой функции f(z). Задача, которую мы ставим себе в этой главе, состоит в том, чтобы дать определения и установить основные свойства логарифмической, показательной и тригонометрических или круговых функций от z. Эти функции были до сих пор определены только для действительных значений Z, а логарифмическая функция даже только для положительных значений.
Начнем с логарифмической функции. Естественно попытаться определить ее с помощью некоторого обобщения определения
x
Ых = J^-(X >0); і
для этого необходимо вкратце рассмотреть некоторые обобщения понятия интеграла.
229. Действительные и комплексные криволинейные интегралы.
Пусть AB является ^дугой С некоторой кривой, определенной уравнениями
* = ?('). У =
где ф и ф — функции от t, имеющие непрерывные производные 9' и (J/. Предположим, что когда t изменяется от ta до tu точка (х, у) движется вдоль кривой в одном и том же направлении от А к В. Тогда мы определяем криволинейный интеграл
