Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
33. Уравнение ех = ах-\-Ь имеет одни действительный корень, если а <0 или в== О, Ь > 0. Если а > 0, то оно имеет два действительных корня в случае, когда а In а > Ь — а, и ни одного действительного корня, когда а In а <Ь — а.
34. На основании графических рассмотрений показать, что уравнение
ех = ахг + 2ox -|- с
•имеет один, два или три действительных корня, если а > 0, и ни одного, один или два, если а < 0. Показать, как можно установить, какой из этих случаев имеет место.
35. Доказать, что уравнение агех = хі имеет три действительных корня,
4
,если я2<т, и что Для малых а меньший положительный корень равен е*
a + -2-fl"+ "з <*+••• •
(Экз, 1931 г.)
36. Найти уравнение для тех значений х, при которых
у = Ae"** -4-Be-(Jf-«)»
-имеет стационарное значение, и доказать, что значение у, соответствующее такому значению х = Х], равно
Ac -л*
-¦— е 1 .
c-X1
Показать также, что если А, В и с положительны, то искомое уравнение имеет в точности два корня, один больший с, а другой отрицательный, и что рни дают соответственно минимум и максимум у.
(Экз. 1923 г.)
37. Начертить кривую
1 . /<?*—Г у = - In
x
-и показать, что точка ^0, -^-j является центром симметрии кривой и что
,когда X возрастает, принимая все действительные значения, у монотонно возрастает от 0 до 1. Вывести, что уравнение
1 , /е*—I
— In
X
,не имеет действительных корней, если а не удовлетворяет условию <3<а<1. При условии же 0<Са<;1 это уравнение имеет один действительный корень, знак которого совпадает со знаком а--.
[Действительно,
1 if /е*_1\ , ,, \ 1 , sh~2*
У 2-х
является очевидно, нечетной функцией от х. Далее,
( .11
2х
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 449
что имеет знак, совпадающий со знаком х. Следовательно, -Q положительно
для всех значений х.]
38. Нарисовать кривую
у=е1/*Ух'4г2х
и показать, что уравнение
е1/*Ух* + 2х=а
не имеет действительных корней, если а отрицательно, имеет один отрицательный корень, если
0<а<а = е1^2 V2 + 2V~2,
и два положительных корня и один отрицательный, если а > а.
39. Показать, что уравнение
/„(*)=!+*+?+ ... +? = »
имеет один действительный корень, если п нечетно, и не имеет ни одного действительного корня, если п четно.
[Допустим, что это доказано для я=1, 2, 2k. Тогда уравнение /aft+і (х) = 0 имеет по крайней мере один действительный корень, так как его степень нечетна; оно не может иметь более одного корня, так как если бы оно имело не менее двух корней, то/1Jj+1 (х), HnHZ26(X), должно было бы по крайней мере один раз обратиться в нуль. Следовательно, Ль+і(х) обращается в нуль один и только один раз, и поэтому уравнение /afe+a(x) = Q не может иметь более двух корней. Если бы оно имело два корня, скажем а и ?, то /'aft+a (х), или /Sfc+i (х), должно было бы по крайней мере один раз обратиться в нуль между аир, скажем, в некоторой точке т; но
и fik+i(x) положительно также и для больших X (положительных и отрица-, тельных), что, очевидно, содержит противоречие, легко распознаваемое на' чертеже. Следовательно,/afe+a(x) не имеет действительных корней.]
40. Доказать, что если а и Ь положительны и приблизительно равны, то имеет место следующее приближенное равенство:
причем ошибка примерно равна —g-3 -
[Использовать логарифмический ряд. Эта формула имеет также исторический интерес, так как она применялась Непером для вычисления логарифмов.]
Выражение, заключенное в фигурные скобки, стремится к нулю при х^О, а его производная равна
29 Г. Харди
450 Глава девятая
(Экз. 1909 г.)
(А —я)!(2я—А)!
1 2
равно если А не кратно 3, и равно—» если А кратно 3.
(Экз. 1932 г.)
45. Доказать, что если х мало, а у обозначает положительное значение
(1+* + *.)»/*»,
то
у = і-.** + 0(**)}.
Найти пределы _у и при л: —* 0 справа и слева и нарисовать график вблизи точки х = 0.
(Экз. 1924 г.)
46. Доказать, что
dx l.a
¦ = •-7 ІП ¦
(дг + а)(дг + 6) а — * Ь '
41. Доказать перемножением рядов, что если —1<сдг<1, то ^!„(1+^)^==^-^(1 + 1)^ + 1(1+4+1)^-...,
l(arctg^==l^-l(l+l)^+4(l+3+l)^-....
42. Первыми и+2 членами в разложении
In (!. + * + ?+...+?)
в степенной ряд являются
, *"+'f 1 x # х- і
я! ІЯ+1 1!(я + 2) ^ 2!(я + 3) •"^l 'я!(2я+1)Г
(Зжз. 1899 г.)
43. Показать, что разложение
( Xі хп 1
expl_x___...__j
в степенной ряд начинается с членов
п
Х + п+1 Z(n + s)(n + s+l)-
5 = 1
44. Применить тождество
In(I- Xі)= In (1 — X) + In(I +дг + х*) для доказательства того, что
Vl (-!/«-»(„-I)!
Li (к — я)!(2я-
если а > 6 > 0.
о
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 451 47. Доказать, что если а, ? и у положительны и р2>ау, то
со __
ах-
О
и вычислить интеграл при условии, что а > 0 и 07 > р2.
48. Доказать, что если а>—1, то
СО OO со
f tfx _ f* dt =2 С du
