Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
") Т. е. что эти значения зависят от двух параметров, принимающих ¦каждый бесконечное число (целочисленных) значений. (Прим. перев.)
M Г. Харди
466 Глава десятая
е' = ехр (I Ln е) = z, С Ln е = Ln г
где am а обозначает любое значение амплитуды, были оба целочисленны. Каковы соответствующие условия для того, чтобы все значения имел» модуль, равный 1?
10. Общим значением \xi-\-x'i\, где х>0, является
е~(т -п)У2 {ch 2 (т + п) л + cos (2 In xj}7
11. Найти ошибку в следующем рассуждении: так как
е1т-1 __ e2nui _ ^
где т и п—любые целые числа, то возводя каждую часть этого равенства в степень і, найдем, что
12. При каких условиях некоторые из значений хх, где х — действительное число, будут действительными?
[Если x > 0, то
хх = ехр (х Ln x) = ехр (х In X) Cis 2/Я1ГХ,
где первый множитель действителен. Главное значение, для которого т = 0, всегда действительно.
Когда X — рациональное число вида ~-^ру или когда х иррационально»
ZQ -\- L
то другого действительного значения нет. Но если X — рациональное числа вида , то имеется еще одно действительное значение, а именно, — ехр (xlnx),,
ZQ
соответствующее m = q. Если X = — ? < 0, то
хх = ехр {—І Ln (— S)} = ехр (— S In 5) CiS { — (2т-\-1) Щ.
Единственным случаем, в котором это выражение может иметь действи-тельное значение, является S = ? , ', в этом случае при т = q мы полу-чаем действительное значение
ехр (—Sin?) Cis (— ръ) = (- I)P S-К Эти результаты иллюстрируются следующими примерами:
(W-Fr- (тГ=*УТ' HP=VT.
13. Логарифмы при любом основании. Мы можем определить S= Log а2 двумя способами. Мы можем, во-первых, положить ? = Log0z, если главное-значение а** равно г, или мы можем, во-вторых, положить С = Logoz, если. некоторое значение а4 равно г.
Так, если а = г. то, по первому определению, ? = Logez, если главное значениг равно z, т. е. если ехр S = г; таким образом, Logez совпадает; с Ln г. Но, по второму определению, C = Logez, если
Общая теория логарифм., показам, и тригонометрия, функций 467
или ? = Z , причем логарифмы могут иметь любые значения. Следовательно,
In I z і -4- (am г + 2тгЛ і
: = L°g«2 =-'-\+21ы--'
так что С является многозначной функцией от г с со2 значениями. По этому определению мы имеем, вообще,
Ln z
14.
Ъптл (2от + 1)«
где m и п — любые целые числа.
237. Выражения синуса й косинуса через показательную функцию. Из формулы
ехр (? T гт|) = exp \ (cos г) + г sin yj)
мы можем вывести много важных следствий. Полагая S = О, мы получаем ехр (iYj) = cos Yj T і sin yj; заменяя здесь yj на—yj, получаем, также ехр (— Ir1) = cos yj — г sin yj. Следовательно,
COS YJ = ~ {ехр (/Yj) T ехр (— /Yj)},
z \
sin Yj = — у г {ехр (JYj) —ехр (— JTj)}.
Соответствующие выражения через е*р(гт,) мы можем получить, конечно, и для других тригонометрически* функций OT Yj.
238. Определение sin С й cos С для всех значений С. В предыдущем пункте мы видели, что если С действительно, то
cos : = 1 {ехр (К)+ ехр (—?)}, (1а)
sin С = — j і {ехр (Q- ехр(— ?)}. (Ib)
Левые части этих равенств определены, в силу известных геометрических определений элементарной тригонометрии, только' для действительных значений С. Но правые части были определены для всех значений С, действительных или комплексных. Таким образом, мы, естественно, приходим к определениям cos С и sin ? для всех значений С с помощью формул (1). В силу результатов п. 237, эти определения совпадают для действительных значений ? с известными элементарными определениями.
Определив, таким образом, cos С и sin С, мы определяем другие тригонометрические функции соотношениями
, - sin ? cos Zr 1 f 1 /п\
4SC = C^iI' СІ^ = ШЇ> 5Є^ = їо^Ч' cosecC = s7nT- (2)
30»
463
Г лава десятая
Ясно, что cos С и sec С являются четными функциями от С, a sin С, tg С, ctg С и cosec С — нечетными функциями. Далее, если ехр (JQ = t, то мы имеем
cosC = T(/+j), sinC = -I і
cos4 + sin4=T{(^+7)'2-(/-l)2} = l. (3)
Более того, мы можем выразить тригонометрические функции от C-j-C через тригонометрические функции от С и С' с помощью тех же самых формул, которые имеют место в элементарной тригонометрии. Действительно, если ехр(гС)=/, ехр(гС) = /', то мы имеем
cos(C+C)=I(^ + l) = T{(/+i)(^ + I) +
+('"~ т) ~ f) }=cos * cos с'—sin: sln c'» (4)
и аналогично мы можем доказать, что
sin (С + С') = sin С cos С' -)- cos С sin С'. (5)
В частности,
cos (с+ у TCJ = — sin С, sin ^C -fi-T;j = COS С. (6)
Все общеизвестные формулы элементарной тригонометрии являются алгебраическими следствиями уравнений (2) — (6), и, следовательно, все эти формулы имеют место и для обобщенных тригонометрических функций, определенных в этом пункте.
239. Обобщенные гиперболические функции. В примере LXXXV111. 20
мы определили ch С и sh С для действительных значений С уравнениями
ch'=y(exps+exp(-!:))' sh^=-|(expS~exp(_;:))- (I)
Мы можем теперь распространить это определение иа комплексные значения переменного, т. е. мы можем условиться считать уравнения (1) определяющими ch С и sh С для всех значений С, как действительных, так и комплексных. Читатель легко проверит, что