Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 173

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 191 >> Следующая


") Т. е. что эти значения зависят от двух параметров, принимающих ¦каждый бесконечное число (целочисленных) значений. (Прим. перев.)

M Г. Харди

466 Глава десятая

е' = ехр (I Ln е) = z, С Ln е = Ln г

где am а обозначает любое значение амплитуды, были оба целочисленны. Каковы соответствующие условия для того, чтобы все значения имел» модуль, равный 1?

10. Общим значением \xi-\-x'i\, где х>0, является

е~(т -п)У2 {ch 2 (т + п) л + cos (2 In xj}7

11. Найти ошибку в следующем рассуждении: так как

е1т-1 __ e2nui _ ^

где т и п—любые целые числа, то возводя каждую часть этого равенства в степень і, найдем, что

12. При каких условиях некоторые из значений хх, где х — действительное число, будут действительными?

[Если x > 0, то

хх = ехр (х Ln x) = ехр (х In X) Cis 2/Я1ГХ,

где первый множитель действителен. Главное значение, для которого т = 0, всегда действительно.

Когда X — рациональное число вида ~-^ру или когда х иррационально»

ZQ -\- L

то другого действительного значения нет. Но если X — рациональное числа вида , то имеется еще одно действительное значение, а именно, — ехр (xlnx),,

ZQ

соответствующее m = q. Если X = — ? < 0, то

хх = ехр {—І Ln (— S)} = ехр (— S In 5) CiS { — (2т-\-1) Щ.

Единственным случаем, в котором это выражение может иметь действи-тельное значение, является S = ? , ', в этом случае при т = q мы полу-чаем действительное значение

ехр (—Sin?) Cis (— ръ) = (- I)P S-К Эти результаты иллюстрируются следующими примерами:

(W-Fr- (тГ=*УТ' HP=VT.

13. Логарифмы при любом основании. Мы можем определить S= Log а2 двумя способами. Мы можем, во-первых, положить ? = Log0z, если главное-значение а** равно г, или мы можем, во-вторых, положить С = Logoz, если. некоторое значение а4 равно г.

Так, если а = г. то, по первому определению, ? = Logez, если главное значениг равно z, т. е. если ехр S = г; таким образом, Logez совпадает; с Ln г. Но, по второму определению, C = Logez, если

Общая теория логарифм., показам, и тригонометрия, функций 467

или ? = Z , причем логарифмы могут иметь любые значения. Следовательно,

In I z і -4- (am г + 2тгЛ і

: = L°g«2 =-'-\+21ы--'

так что С является многозначной функцией от г с со2 значениями. По этому определению мы имеем, вообще,

Ln z

14.

Ъптл (2от + 1)«

где m и п — любые целые числа.

237. Выражения синуса й косинуса через показательную функцию. Из формулы

ехр (? T гт|) = exp \ (cos г) + г sin yj)

мы можем вывести много важных следствий. Полагая S = О, мы получаем ехр (iYj) = cos Yj T і sin yj; заменяя здесь yj на—yj, получаем, также ехр (— Ir1) = cos yj — г sin yj. Следовательно,

COS YJ = ~ {ехр (/Yj) T ехр (— /Yj)},

z \

sin Yj = — у г {ехр (JYj) —ехр (— JTj)}.

Соответствующие выражения через е*р(гт,) мы можем получить, конечно, и для других тригонометрически* функций OT Yj.

238. Определение sin С й cos С для всех значений С. В предыдущем пункте мы видели, что если С действительно, то

cos : = 1 {ехр (К)+ ехр (—?)}, (1а)

sin С = — j і {ехр (Q- ехр(— ?)}. (Ib)

Левые части этих равенств определены, в силу известных геометрических определений элементарной тригонометрии, только' для действительных значений С. Но правые части были определены для всех значений С, действительных или комплексных. Таким образом, мы, естественно, приходим к определениям cos С и sin ? для всех значений С с помощью формул (1). В силу результатов п. 237, эти определения совпадают для действительных значений ? с известными элементарными определениями.

Определив, таким образом, cos С и sin С, мы определяем другие тригонометрические функции соотношениями

, - sin ? cos Zr 1 f 1 /п\

4SC = C^iI' СІ^ = ШЇ> 5Є^ = їо^Ч' cosecC = s7nT- (2)

30»

463

Г лава десятая

Ясно, что cos С и sec С являются четными функциями от С, a sin С, tg С, ctg С и cosec С — нечетными функциями. Далее, если ехр (JQ = t, то мы имеем

cosC = T(/+j), sinC = -I і

cos4 + sin4=T{(^+7)'2-(/-l)2} = l. (3)

Более того, мы можем выразить тригонометрические функции от C-j-C через тригонометрические функции от С и С' с помощью тех же самых формул, которые имеют место в элементарной тригонометрии. Действительно, если ехр(гС)=/, ехр(гС) = /', то мы имеем

cos(C+C)=I(^ + l) = T{(/+i)(^ + I) +

+('"~ т) ~ f) }=cos * cos с'—sin: sln c'» (4)

и аналогично мы можем доказать, что

sin (С + С') = sin С cos С' -)- cos С sin С'. (5)

В частности,

cos (с+ у TCJ = — sin С, sin ^C -fi-T;j = COS С. (6)

Все общеизвестные формулы элементарной тригонометрии являются алгебраическими следствиями уравнений (2) — (6), и, следовательно, все эти формулы имеют место и для обобщенных тригонометрических функций, определенных в этом пункте.

239. Обобщенные гиперболические функции. В примере LXXXV111. 20

мы определили ch С и sh С для действительных значений С уравнениями

ch'=y(exps+exp(-!:))' sh^=-|(expS~exp(_;:))- (I)

Мы можем теперь распространить это определение иа комплексные значения переменного, т. е. мы можем условиться считать уравнения (1) определяющими ch С и sh С для всех значений С, как действительных, так и комплексных. Читатель легко проверит, что
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed