Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
9. Функция /(х) от действительного переменного х, определенная равенством
T-Hx) = P* + (g—p) Im (Inх),
равна р, когда х положительно, и равна q, когда х отрицательно.
10. Функция /(х), определенная равенством
т. /(X) =рт. + [д — р) Im {In (X — 1)} + (г — д) Im (In х),
равна р, когда х>1, равна q, когда 0<х<1, и равна г, когда х<0.
11. Для каких значений z Iе In z и 2° любое значение Ln г (а) действительно и (Ь) чисто мнимо?
12. Если г = х + гу, то
Ln Ln г = In R + і (0 + 2k'п),
где
/?а = (in г)2+ (9+ 2 Aw)2
и 0 является наименьшим положительным углом, определенным уравнениями
cos 0 - —— _., sin0= r _ _!____.
Y (1пг)» + (Є + 2*іг)» ]A(3nr)2 + (8 + 2fe)2
Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 461
*) Или показательной функцией. (Прим. перев.)
Наметить бесконечное множество значений LnLn(I 4-і У 3), и указать, какие из них являются значениями In Ln (1 4- і У 3) и какие — значениями Ln In (1+ і У 3).
232. Показательная функция. В гл. IX мы определили функцию еу от действительного переменного у как функцию, обратную функции у = Inх. Естественно, что мы должны теперь определить функцию комплексного переменного z, которая является обратной функции Ln 2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если какое-либо значение Ln z равно С, то мы называем z экспоненциалом от С*) и пишем
2 = ехр?.
Таким образом, z = ехр ?, если ? = Ln z. Мы знаем, что любому данному значению z соответствует бесконечно много различных значений С. На первый взгляд нельзя сразу отбросить возможность того, что каждому данному значению С соответствует бесконечно много значений z, или, иначе говоря, что ехр ? является бесконечно-значной функцией от С. Однако, как видно из следующей теоремы, это не так.
ТЕОРЕМА. Показательная функция ехр ? является однозначной функцией от С
Действительно, пусть
Z1 = T1 (cos O1 -j- і sin 6j), 2a = ra (cos 62 -j- і sin 62)
и оба эти числа являются значениями ехр С. Тогда
С = Ln Z1 = Ln zi
и, следовательно,
In T1 -f і (6, + 2оттс) == In r2 -f і (6, -f 2лтс),
где т и л •—целые числа. Отсюда следует, что
In г, = In г2, 6, 4- 2шт = 62 4- 2лтс,
т. е. Г] = г2 и разность 6, — 62 кратна 2тс. Это означает, что Z1 = zg. СЛЕДСТВИЕ. Если С — действительное число, то
ехр ? = Є'>
т. е. равен действительной показательной функции от С, определенной в гл. IX.
Это следует из того, что если z = e', то In Z = ?, т. е. одно из значений Ln z есть С Следовательно Z = ехр С.
462
Глава десятая
233. Значение ехр С Пусть C = S-J-nj и
z = ехр С = г (cos O —{— г sin 6).
Тогда
S -\~ щ = Ln z = In г -j- і: (6 -j- 2/гатс),
где от — целое число. Следовательно, S = In г, yj = 6 -j- 2/гатс, или
r = e?, 6 = y] — 2/гатс
и,' соответственно,
ехр (S -j- nq) = с5 (cos yj -j- г* sin yj).
Если Y) = O, то expS = e?, как мы уже видели в п. 232. Очевидно, что действительная и мнимая части exp(S-j-iYj) являются непрерывными функциями от S и Y] для всех значений S И Yj.
234. Функциональное уравнение для ехр С. Пусть
Ci = Єї —{— г'т)„ C2 = S2 + JY)2.
Тогда
ехр Cj ¦ ехр C2 = (cos Yj1 -j- і sin Y]1) • (cos Y]2 -j- г sin Y]2) = = e?i+Ss{(cos (Y]1 -f Y]2) -f і sin (Tj1 -f Tj2)} = exp (Ci + C2).
Показательная функция удовлетворяет, таким образом, функциональному уравнению /(Ci -f~ C2)=/(Ci)/(C2). В случае действительных значений Ci и C2 мы это уже доказали раньше (см. п. 213).
235. Общая показательная функция Л Так как ехр С = ^,
когда С действительно, то казалось бы естественным применять тоже обозначение и в случае комплексного С и совершенно отказаться от обозначения ехр С. Однако мы так не поступим, потому что в дальнейшем припишем символу некоторый более общий смысл. Мы увидим, что ё- представляет бесконечно-значную функцию» одним из значений которой является ехр С.
Мы уже определили ас в значительном числе случаев. Этот символ определяется в элементарной алгебре в тех случаях, когда а — действительное положительное число и С рационально, или когда а — действительное отрицательное число и С — рациональное число с нечетным знаменателем. По определениям элементарной алгебры, а* может иметь не более двух значений. В гл. III мы распространили наши определения на тот случай, когда а — любое действительное или комплексное число, а С — любое рациональное число;
у; наконец, в гл. IX мы дали новое определение с помощью равенства
которое применимо для всех действительных С и всех действительных и положительных а.
Общая теория логарифм., показат. и тригонометрич. функций 463
Итак, мы тем или иным образом приписали определенные значения таким выражениям, как
3V., (-I)v3, ^3-^i-i)"Va, (3,5)1+^2-,
но мы еще не имеем определений, в силу которых можно было бы приписать определенные значения
(1 + 0/5*. 2г, (3,-f 2г)2+3г".
Мы дадим теперь общее определение а;, которое применимо ко всем значениям а и С как действительным, так и комплексным, за единственным исключением а = 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция о} определяется соотношением
