Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
1Ы — ХОР,
а затем возрастает опять, принимая вновь значение 2?тс в точке Q, до 2?тс-]-ср. В случае пути, обозначенного пунктиром, прямолинейный отрезок и кривая ограничивают две области, ни одна из которых не содержит начала координат; этот случай, хотя и несколько сложнее, но вполне аналогичен предыдущему. Таким образом, если
путь интегрирования таков, что замкнутая кривая, образованная им и прямолинейным отрезком от 1 до С не содержит внутри себя начало координат, то
Ln С -= In С = In р -j- г'ер.
С другой стороны, очень легко построить пути интегрирования, для которых [6] не равно ср. Рассмотрим, например, кривую, изображенную на фиг. 53 непрерывной линией. Если исходное значение 6 равно 2 Атс, то оно увеличится на 2тс, когда мы придем в точку Р, и на 4тс, когда мы придем в точку Q; конечным значением 8 будет 2 Arc -j- 4тг -J- ф, так что [6] = 4тс -)- ер и
Ln С = In р -)- і (4тс -j- ер).
В этом случае путь интегрирования дважды обходит начало координат в положительном направлении. Если бы мы выбрали путь, обходящий к раз начало координат, то аналогично нашли бы, что [б] = 2 Arc -j- ер и
Ln С = In р -J- і (2 Атс -f- ер).
Здесь k положительно. Если путь обходит начало координат в отрицательном направлении (как, например, путь, изображенный на фиг. 53 пунктирной линией), то мы получили бы аналогичный ряд значений, для которых k отрицательно. Так как |Г,| = р и углы 2Атс-]-ер являются разными значениями am С, то мы заключаем, что каждое зна-
Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 459
чение In IСI -j- і am С является значением Ln С; из предшествующего рассмотрения ясно также, что любое значение Ln С имеет этот вид.
Таким образом, мы приходим к следующему заключению: общее значение Ln С равно
In j С I —}— Ї am С = In р —)- г (2&тс -j- ф),
где k — любое целое число. Значение k определяется путем интегрирования. Если этот путь является прямолинейным отрезком, то A = O и
LnC = InC = In р -}- і со.
Мы обозначили через С аргумент функции Ln С, и через ?, -ц и р, со — координаты точки С. Обозначения z, х, у, г, 6 применялись нами для произвольной точки пути интегрирования и ее координат. Однако теперь нет оснований отказываться от более естественных обозначений, в которых z является аргументом функции Ln 2, и в дальнейшем мы возвращаемся к этим обозначениям.
Примеры XClV. 1. В предыдущих рассмотрениях мы предполагали, что — ~<9<t, так что мы исключили действительные отрицательные значения z. В этом случае прямолинейный отрезок от 1 до г проходит через начало координат, и поэтому недопустим как путь интегрирования. И —-тс и 7т являются значениями am г, а 6 равно одному из них; кроме того, г= — г. Значениями Ln z являются попрежнему значения In | z | -f-iam z, а именно,
ln(-z) + (2*+l)W,
где k — целое число. Значения
ln( — z)-\-t.i и ln( — z) — -і
соответствуют путям от 1 до z, лежащим полностью над и полностью под действительной осью. Каждое из них может быть взято в качестве главного значения Ln г, смотря по тому, какое представляется более удобным. Мы выберем в качестве главного значения In ( — г) А--і, что соответствует первому пути.
2. Действительные и мнимые части любого значения Ln г являются непрерывными функциями от X и у, если только X и у не равны одновременно нулю.
3. Функциональное уравнение для Ln г. Функция Ln z удовлетворяет уравнению
Ln Z1Z^ = Ln Z1 A- Ln г2 (1)
в том смысле, что каждое значение одной из его частей является одним из значений другой части. Это сразу следует из результата настоящего пункта, «слн_мы положим
Z1 = T1 (cos 9Х + і sin S1), 2S = r2 (cos % + і sin 9a). однако уравнение
1пг1г2 = 1пг1-}" 1пг2 (2)
яе всегда выполняется. Если, например,
1 I ,— \ 2 . 2
Zi = z2 = j I — 1 +1 у 3 1 = cos — т. Ar і sin g- ~,
460
Г лава десятая
2 4
то In Z1 = In 22 = ¦g- W*, и In 2ц+ In Z8= •g та, что является одним из значений Ln Z1Z2, но не является главным значением. Действительно,
2 •
InZ1Z8 = -
Уравнения такого типа как (1), в которых каждое значение одной из-частей является одним из значений другой, мы будем называть полными или полностью верными.
4. Уравнение Ln zm = т Ln z, где т — целое число, не полностью верно, так как хотя каждое значение правой части является одним из значений, левой части, но обратное неверно.
5. Уравнение Ln— = — Ln г полностью верно. Верно также и то,
что In I = — In г, за исключением того случая,когда z—действительное отри-z
цательное число.
6. Уравнение
In -—%_ = In (Z — а) — In (г — Ь) z — Ь
верно, если z лежит вне области, ограниченной отрезком прямой, соединяющим точки Z = а и z = b, и полупрямыми, исходящими из этих точек параллельно действительной оси в отрицательном направлении.
7. Уравнение
>»S='»M)-'"('-4)
верно, если z лежит вне треугольника с вершинами в точках 0, а, Ъ.
8. Нарисовать график функции Im(LnX) от действительного переменного х.
[График состоит из положительных полупрямых у =2къ и отрицательных полупрямых у = (2k + I)Jt.]
