Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Общая теория логарифм-, показат. и. тригонометрии, функций 489
*) ft = I / (z) |. (Прим. перев.)
окружности, обратно вдоль барьера и, наконец, вдоль оставшейся половины большой окружности к исходному положению.
24. Если Z = Z1, причем допускается любое значение степени, и Z движется вдоль логарифмической спирали с полюсом в начале, то z также движется вдоль логарифмической спирали с полюсом в начале.
25. Как ведет себя Z = zai, где а—действительное число, когда г приближается к началу координат вдоль действительной оси?
[Точка Z описывает неограниченное число раз окружность с центром в начале (причем эта окружность — единичная, если z"1 имеет главное значение), так что и действительная и мнимая части Z ограниченно колеблются.]
26. Показать, что областью сходимости рядов вида
со
2 anznai,
— OO
где а действительно, является угол, т. е. область, определенная неравенствами 90 < am z < S1.
[Этот угол может свестись к одной прямой или покрыть всю плоскость.]
27. Линии уровня. Если f (г) — функция комплексного переменного г, то кривые, вдоль которых j f (z) I постоянен, называются линиями уровня/ (г). Нарисовать линии уровня следующих функций:
z — а (концентрические окружности), (z — a) (z — b) (овалы Касети),
—|- (связка окружностей)
ехрг (прямые).
28. Набросать вид линий уровня функции (z — a)(z — b)(z — c).
29. Набросать вид линий уровня функций 1) zexpz, 2) sin z.
[См. фиг. 55, на которой изображены линии уровня функции sin z. Кривые, отмеченные номерами I — VIII, соответствуют значениям*) k = 0,35; 0,50; 0,71; 1,00; 1,41; 2,00; 2,83; 4,00.]
30. Набросать вид линий уровня функции ехрг — с, где с — действительная постоянная.
[На фиг. 56 изображены линии уровня функции ехрг—1, причем кривые I — VII соответствуют значениям k, для которых In k = —1,00; —0,20; —0,05; 0,00; 0,05; 0,20; 1,00.]
31. Линии уровня функции sinz — с, где с — положительная постоянная, изображены на фиг. 57 и 58.
[Характер кривых зависит от того, будет ли с< 1 или > 1. На фиг. 57 мы взяли с = 0,5 и кривые I — VIII соответствуют значениям ? = 0,29; 0,37; 0,50; 0,87; 1,50; 2,60; 4,50; 7,79. На фиг. 58 с = 2 и кривые I —VII соответствуют значениям ? = 0,58; 1,00; 1,73; 3,00; 5,20;9,00; 15,59. Для с= 1 кривые имеют тот же вид, что и на фиг. 55, за исключением того, что начало координат сдвинуто н масштаб изменен.]
32. Доказать, что если 0<Є<5:, то
cos Є +-^- cos 36 + -^- cos 59 +... = j In ctg2 у 9,
sin6+ -^- sin 39 + -^- sin 59 +... = ~,
и определить суммы этих рядов для всех других значений 9, для которых они сходятся.
490
Глава десятая
где z = cos 9 -f-і sin 6. Когда 9 увеличивается на к, то сумма каждого из этих рядов меняет свой знак. Мы заключаем, что первая формула имеет место для всех значений 0, кроме значений, кратных к (для которых ряд расхо-
1
дится), тогда как сумма второго ряда равна -^--, если
2й*<9<(2? + 1)т:,
¦—-г- если 4
(2k+ 1)-<9<(26 + 2)-,
0, если 0 кратно т..]
Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 491
:--~ In J4 (cos6 — cosa)8},
ести ии 9 — а, ни 9 -j-а не кратны 2тг.
36. Доказать, что если ни а, ии Ь не являются действительными числами, то
OO
Г Ах — 1п(—а)—111 (—*)
J (х — а) (х — b) а — Ъ *
о
где имеются в виду главные значения логарифмов. Проверить результат в том случае, когда а = сі, Ь = —сі, где с положительно. Рассмотреть также случаи, когда а и І, или оба эти числа, действительны и отрицательны.
37. Доказать, что если аир действительны и ?>0, то
со
_dx _ -і
х*-(а + ЩГ- 2(а + ір) *
о
Чему равен этот интеграл, если ?<0?
38. Доказать, что если мнимые части корней уравнения
Ах*+ 2Bx+ C = O
имеют обратные знаки, то
dx
Ax2 + 2Bx+ С YВ*—AC '
где знак Yb2 — AC должен быть выбран так, чтоЗы действительная часть
У В*—AB
Ai
была положительна,
33. Доказать, что
OO
VI sinn 9 __ M___?_4_ГАТ\
Zd п ~~\2 ~ 2~ + [2г. Jj 1
для всех действительных 9. (Экз. 1932 г.)
34. Доказать, что если О < 9 < ~, то
cos 9 — 4- cos 39 4- -і- cos59—.. . = —-, S 5 4
sine— у sin 39 4- у sin 50 — .. . = ™ ln(seco 4- tg G)2,
и определить суммы этих рядов для всех других значений 9, для которых они сходятся.
35. Доказать, что
cos 9 cos а 4- і cos 29 cos 2a 4- cos 39 cos 3e -j- . .. = Z о
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Неравенства Гёльдера а Минковского
Три неравенства играют особенно важную роль в анализе. Это — теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом и неравенствах Гёльдера и Минковского. Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом нужна в несколько более общей форме, чем та, которая приведена на стр. 39; неравенства Гёльдера и Минковского могут быть тогда выведены из нее.
В дальнейшем все буквы обозначают строго положительные числа. Так же как на стр. 391), мы можем доказать, что
gt + a, + ... + «. >(gigt...g<t)t/»t (1)
если не все а равны между собой (в этом случае оба средних равны). Если мы предположим, что числа а распадаются на т групп, равных между собой, причем pi из них равны аи р» равны as и т. д., так что
