Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
OO
1) 5 {Я0, Hx)(z0(t), і)dt+ 0;
—OO
2) при малых е возмущенная система имеет двоякоасимпто-ТИЧЄСКОЄ решение t1-* г,(/), близкое К Z1"* Z0(Z)1 то при малых
, значениях ефО гамильтонова система Z=IdH не имеет допол-I нительного аналитического интеграла.
j < Рассмотрим отображение за период g сечения t=t0 на се-' бя. При малых е это отображение имеет две неподвижные гиперболические точки Zi и Z2 с инвариантными сепаратрисами WrI* и Wr2*. Согласно условиям теоремы, при е^О сепаратри-
241
31-1 сы Wi+ и W2- пересекаются и не совпадают. Пусть V—малая окрестность точки Zi и А — малый отрезок сепаратрисы W2", пересекающийся с Wi+. При достаточно большом п отрезок gn(A) будет целиком лежать в области V, снова пересекаясь с Wi+. Согласно теореме Гробмана—Хартмана (F. Hartman) [33], в области V отображение g топологически сопряжено линейному гиперболическому повороту. Следовательно, при п-*-оо отрезки ?П(Д) будут «растягиваться» вдоль сепаратрисы Wr, неограниченно к ней приближаясь. Очевидно, что объединение
Ugn(A) (15)
будет ключевым множеством для класса функций, аналитических в сечении t=t0.
Рис. 59
Предположим теперь, что уравнение Гамильтона имеет аналитический интеграл f(z,t). Функция f(z,t0) инвариантна относительно отображения g и постоянна на сепаратрисе W2-(так как последовательность точек gn(z), zeW2~ при п-*-—оо сходится к точке z2). Следовательно, аналитическая функция f(z,t0) постоянна на множестве (15), и поэтому она постоянна при любом /о. [>
Замечание. А. Пуанкаре разделил двоякоасимптотичес-кие решения на два типа: гомоклинные (когда z+=z_) и гете-роклинные (когда z+=^z_). Если п=1, то при малых е возмущенная задача всегда имеет гомоклинные решения (если, конечно, они были при е = 0).
2.3. Некоторые приложения.
а) Рассмотрим вначале наиболее простую задачу о колебаниях маятника с вибрирующей точкой подвеса (сп. п. 1.4 гл. 5, пример 6). Функция Гамильтона Я равна Я0 + еЯь где
Яо=у2/2—ш2 cos X, Яі=—ы2/(/) cosx,
а /—2л-периодическая функция времени. Когда е = 0, то верхнее положение маятника — неустойчивое равновесие. Невозму-
212 щенная задача имеет два семейства гомоклинных решений:
COS Xq = + l . Jfo-> ±я, при + ОО. (16)
Так как {Н0, H1)= -Vpf(I)X sin jc, то интеграл (10) с точностью до постоянного множителя равен
OO
V/(/)COS JCorf/.
с' — OO
Пусть / (t) = Z/ne'nl. Тогда интеграл (IO) можно представить в виде ряда
IIgZ —оо е T 1
Интегралы Jn нетрудно вычислить с помощью вычетов:
J -и-ч* /0
" 2со(1+в±пя'0) '
Следовательно, если /(Z)^const (т. е. {пфО при некотором пФ0), то интеграл (10) отличен от нуля хотя бы на одном двоякоасимптотическом решении из семейства (16). ТЬким образом, если /(Z)TfcConst, то согласно результатам п. 2.2, рассматриваемая задача при достаточно малых (но фиксированных) значениях параметра ефО не имеет аналитического первого интеграла F (у, х, Z), 2л-периодического по х и Z. Можно показать, что уравнения колебаний маятника могут быть вполне интегрируемыми лйшь при конечном множестве значений параметра е из интервала [—а, а], где a=l/max|/(Z) I (см.
ПЗ]).
Замечание. В работе [13] указан пример гамильтоновой системы с аналитическим гамильтонианом, аналитически зависящим от параметра, которая при всюду плотных множествах значений параметра является как вполне интегрируемой, так и неинтегрируемой. Таким образом, интегрируемые случаи изолированы не всегда.
b) В задаче о быстром вращении тяжелого несимметричного твердого тела функция Гамильтона Н = Н0+гНь где H0=<АМ, M>/2, Я| = <дс, е>; /4 = diag(ab а2, а3), х=(хи х2, х3). Числа аи а2, а3 обратны главным моментам инерции тела, а х2, хз — координаты центра масс в главных осях инерции. При е = 0 будем иметь интегрируемый случай Эйлера. В этой невозмущенной задаче на всех некритических трехмерных уровнях Mh, с
{М, е : H0= h, <М, е> = с, (е, е> = 1)
26-2
243 существуют два неустойчивых периодических решения: если
а1<а2<а3, то _
M1 = M3=O, M2 = M20= ±V2hJa2. e2 = eS = ±с/М2°, (17) е, = acos(a,A^o)t, е3=аsin(OS2Af2O)/; а2 = \ —(с/Mfiy.
Из неравенства < М, е)г<?(М, М) ( е, е) и независимости первых интегралов на Мц,с вытекает, что а2>0. Устойчивые и неустойчивые асимптотические поверхности периодических решений (17) можно представить как пересечения много-образия Mn, с гиперплоскостями M1 Va1—at ± M3 У а3—а2=0. В задаче Эйлера асимптотические поверхности «сдвоены»: они сплошь заполнены двоякоасимптотическими траекториями, которые при /-»-±00 неограниченно приближаются к периодическим траекториям (17). Расщепление этих поверхностей изучено в работах В. В. Козлова (1976) и С. Л. Зиглина (1980). Оказалось, что при возмущении асимптотические поверхности расщепляются всегда, кроме «случая Гесса—Аппельрота» (L. О. Hesse):
X2 = O1 Jc1 V'«з — а2 ± X3 Va2 — ах = 0. (18)
В этом случае одна пара сепаратрис расщепляется, а другая — нет.
Причина нерасщепления состоит в том, что при выполнении условия (18) возмущенная задача при всех значениях є имеет «частный» интеграл: F =MlVfy-±M3Vd3-a2(F=0, если F=O). Можно показать, что замкнутые инвариантные поверхности AfhicCI (Z7 = O) при малых значениях е будут как раз парой сдвоенных сепаратрис (см. [12]).
