Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
В задаче о быстром вращении тяжелого несимметричного волчка р'асЩепленные сепаратрисы пересекаются по-видимому, не всегда. Однако здесь применима теорема 9, с помощью которой можно установить отсутствие дополнительного аналитического интеграла возмущенной задачи при малых, но фиксированных значениях параметра вфО (С. Л. Зиглин (1980)).
Поведение решений возмущенной задачи исследовалось численно (L. Galgani, A. Giorgilli, J.-M. Strelcyn (1980)). На рис. 60 показаны результаты вычислений при разных значениях возмущающего параметра е. Хорошо видно, что картина инвариантных кривых невозмущенной задачи начинает разрушаться как раз в окрестности сепаратрис.
с) Рассмотрим теперь уравнения Кирхгофа
(Af=MXcs + еХи, е = еХ<й; ы = #'„, и = Н/,
1 1 (19)
= 4- < AM, M > + < BM, е > < Ce, е > ,
описывающие вращение твердого тела в идеальной жидкости.
244 • е«0
f i*0.1
- -----ч •• «--— — » л
« 1-0,5
« i*1
Рис. 60
Матрица Л = diag (ai, а2, аз) диагональна, а матрицы BnC симметричны.
Теорема 11. Пусть среди чисел аь а2, а3 нет равных. Если уравнения Кирхгофа имеют дополнительный интеграл, независимый от функций Fi = H, F2 = (М, е>, F3= <е, е) и аналитический в R6{M, е}, то матрица ? = diag(fei, b2, b3) и
а?1 (Ь, -b3) + aTl (Ь3 - Ьх) + аГ1 Фх -Ь2)=0 (20)
Если B==O, то независимый аналитический интеграл существует лишь в случае, когда C = diag(cP с2, с3) и
аГ1 (Со - Ca)+«Г1 (с3- сх) + а3[1 (с, - с2)=0. (21)
Матрица В в интегрируемом случае Стеклова определяется как раз условием (20). Условие (21) дает интегрируемый слу-
245 чай Клебша. Интересно отметить совпадение вида условий (20) и (21).
Следствие. В общем случае уравнения Кирхгофа неин-тегрируемы.
Доказательство теоремы 11, установленной В. Козловым и Д. А. Онищенко (1982 г.), тоже основано на явлении расщепления сепаратрис: в уравнения (19) вводится малый параметр е заменой е на ее; при е = 0 будем снова иметь интегрируемую задачу Эйлера, сдвоенные сепаратрисы которой расщепляются при добавлении возмущений, если не выполнены условия (20) — (21). Подробности можно найти в [13].
d) С помощью метода расщепления асимптотических поверхностей можно установить неинтегрируемость задачи о движении четырех точечных вихрей (С. Л. Зиглин, [70]). Точнее, рассмотрим эту задачу в ограниченной постановке: вихрь нулевой интенсивности (т. е. просто частица идеальной жидкости) движется в «поле» трех вихрен одинаковой интенсивности. Оказывается, уравнение движения нулевого вихря можно представить в гамильтоновой форме с периодическим по времени гамильтонианом; эти уравнения имеют гиперболические периодические движения с пересекающимися сепаратрисами. Поэтому ограниченная задача четырех вихрей не является вполне интегрируемой, хотя (как н в неограниченной постановке) имеет четыре независимых некоммутирующих интеграла.
§ 3. Квазислучайные колебания
Большинство методов доказательства неинтегрируемости основано на том, что достаточно запутанное топологическое поведение фазовых кривых препятствует существованию первых интегралов. Один из случаев, когда удается явно установить такую топологическую запутанность, следовательно и неинтегрируемость,— теория квазислучайных колебаний, которую мы здесь рассмотрим в простейшей модельной ситуации.
Рассмотрим, следуя В. М. Алексееву, неавтономную систему с одной степенью свободы, движение которой описывается уравнением
jc=-Q(jc,0, xeR. (22)
Будем предполагать выполненными следующие условия:
a) Q- гладкая функция, 2я-периодическая по t.
b) Q(—x, n=—Q(x, t); в частности Q(0, /)=0 и, следовательно, точка * = 0 — положение равновесия.
c) Q>0 при х>0 и
ж 2л
J1J' Q (х, t)dx/\dt <
о о
246 Если система автономная, то последнее условие означает ограниченность потенциальной энергии при | jc|-> оо.
d) Q,'<0 при jc>jc*>0. Это означает выпуклость графика потенциальной энергии и (х, t) (определяемой равенством Ux'= = —Q) при I jc I > x1.. Следующие два условия носят технический характер:
OO
e) IQ/K^C*), j>(.*)rf*<oo,
о
i) ?(*)/Q2(*, O=O(I) при
Важным примером является вариант ограниченной задачи трех тел, в котором две точки одинаковой массы описывают эллиптические орбиты в плоскости X, у, симметричные относительно оси Z, а третья точка нулевой массы все время остается на оси г (см. рис. 61). Движение последней описывается дифференциальным уравнением
z = -zi[z* + r*(t)13/г, (23)
где
rW- i+.Lm ' *-<1 + «совЯР. Ф(0)=0;
Здесь е — эксцентриситет эллиптической орбиты массивных тел. В этом примере все условия а —{, очевидно, выполнены.
3.1. Отображение последования.
Определение. Решение x(t) уравнения (24) назовем гиперболическим в будущем, если существует JC (-(- оо)= Iitn JC(/)>(),
/->+со
параболическим, если jc( + oo)=0, и колеблющимся, если функция дс(-) имеет бесконечно много нулей при /-»-+оо. Аналогично определяются эти три вида движений в прошлом (при /-»—оо) (см. гл. 2, § 4, п. 4.1).
В указанном выше примере ограниченной задачи трех тел движения первого (второго) вида называются, согласно Шази,
