Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
< т, > /т (Z)= < т, ^ > Am (Z), m?Z».
Условие разрешимости этих уравнений относительно /т в точке из множества Пуанкаре — зависимость векторов д H0/д I и dFo/JI. >
Доказательство теоремы 1. Так как в точке /0^D среди производных дН01д1х, ..., дН0/д/„ -есть отличная от нуля, то в малой окрестности U этой точки в качестве локальных координат МОЖНО ВЗЯТЬ H0, /2, ...,/„ (если H0I1 =^0).
Согласно лемме 1, функции H0 и F0 зависимы на множестве Пуанкаре. Поскольку миноры матрицы Якоби
д(Н„ Ft)
<>(/......<п)
аналитичны в U и множество Пуанкаре является ключевым, то функции H0 и F0 зависимы во всей области U и, следовательно, в окрестности значения H0(P) в новых координатах будем иметь равенство F0 = F0(H0).
Положим F—F0(H) =еФ. Тогда Ф — формальный интеграл канонических уравнений (1). Пусть Ф= І Ф„е®. Тогда, соглас-
S>0
но лемме 1, функция Ф0 не зависит от угловых переменных ф и Ф0 зависима с H0 в области U. Следовательно, Фо = Фо(Я0) и снова Ф—Ф0(Я)=еУ. Но тогда F = F0(H) +еФ0(Я) +e2W. Повторяя эту операцию нужное число раз, мы получим, что разложение всех миноров второго порядка матрицы Якоби
д(Н, F) д(1, ч>)
228 в ряд по степеням е начинается с членов сколь угодно высокого порядка. Отсюда вытекает зависимость функций Я и F. Д.
Теорема 2. Пусть функция H0 невырождена в области D и множество Пуанкаре всюду плотно в D. Тогда уравнения (1) не имеют независимого от H формального интеграла 2F,e* с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами Fi--DX XT»—R.
Это утверждение просто доказывается тем же методом, что и теорема 1.
Замечание. При л=2 из теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений вытекает существование аналитического по е первого интеграла с непостоянными непрерывными коэффициентами. Напротив, в многомерном случае, для системы общего вида, по-видимому, невозможен даже непрерывный интеграл (см. [45]).
1.2. Рождение изолированных периодических решений — препятствие к интегрируемости. Напомним некоторые факты из теории периодических решений дифференциальных уравнений. Собственные значения А, оператора монод'ромии Г-периодиче-ского решения называются мультипликаторами, а числа а, определяемые равенством Х=ехр(аГ), — характеристическими показателями. Мультипликаторы А, могут быть комплексными, поэтому характеристические числа а определены неоднозначно. В автономном случае один из мультипликаторов \ всегда равен 1 (соответствующий собственный вектор касается траектории периодического решения).
Предложение 1 (Пуанкаре — Ляпунов). В случае гамильтоновой системы с п степенями свободы характеристический многочлен р (Я) оператора монодромии возвратный:
Доказательство см., например, в [6].
Теорема 3 (Пуанкаре [34]). Предположим, что гамильто-нова система с гамильтонианом Я имеет р интегралов Fi-Я, F2,..., Ff, независимых в точках траектории периодического решения. Тогда р+1 характеристических показателей этого решения обращаются в нуль. Если интегралы F, коммутируют, то среди показателей по крайней мере 2р равны нулю.
Следствие 1. Периодические решения автономной гамильтоновой системы всегда имеют два нулевых характеристических показателя.
Один показатель обращается в нуль из-за автономности гамильтоновой системы, а другой — из-за наличия интеграла Я (который не имеет критических точек на траекториях периодических решений). Если остальные характеристические показатели отличны от нуля, то периодическое решение называется невырожденным. Невырожденные решения изолированы в том смысле, что на соответствующем (2л—1)-мерном уровне интеграла энергии Я в малой окрестности периодической тра-
229 ектории нет других периодических решении с периодом, близким к Г. В случае двух степеней свободы невырожденное решение с действительными показателями обычно называется гиперболическим, а с чисто мнимыми — эллиптическим. Гиперболическое периодическое решение неустойчиво, а эллиптическое — устойчиво в первом приближении.
Следствие 2. Если гамильтонова система имеет полный набор интегралов в инволюции, независимых на траектории периодического решения, то спектр ее оператора монодромии состоит из одной точки X = 1.
Теорема Пуанкаре дает нам метод доказательства неинтегрируемости: если траектории невырожденных периодических решений заполняют фазовое пространство всюду плотно или хотя бы это множество обладает ключевым свойством, то гамильтонова система не имеет дополнительного аналитического интеграла. По-видимому, в гамнльтоновых системах общего положения периодические траектории действительно всюду плотны (Пуанкаре [34], п. 36). Это пока не доказано. Отметим в связи с гипотезой Пуанкаре следующий результат, касающийся геодезических потоков на римановых многообразиях отрицательной кривизны: все периодические решения имеют гиперболический тип и множество их траекторий всюду плотно заполняет фазовое пространство [3].
Для гамнльтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых, можно доказать существование большого числа невырожденных периодических решений и из этого факта вывести результаты п. 1.1. Для простоты ограничимся случаем двух степеней свободы.
