Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
232 Функция Я теперь зависит лишь от X1, у,, причем относительно угловых переменных г/ь У2 она 2л-периодична. В итоге мы представили уравнения движения астероида в виде следующей гамильтоновой системы:
дН • дН ..
Разложение возмущающей функции в кратный тригонометричес-кий ряд по углам ух и у2 было изучено еще Леверье (J. Lever-rier) (см., например, [24]). Оно имеет следующий вид:
оо оо
Hx = 2 2 A«.*cos YtlJi-V(IJljTy2)]-
U — — ос V = — со
Коэффициенты hu, зависящие от х\ и х2, вообще говоря, отличны от нуля.
Множество Пуанкаре этой задачи состоит из прямых, параллельных оси X2: Ufxi3—и = 0, Ии,тфО. Оно всюду плотно заполняет полуплоскость х, >0. Однако применить теорему 1 об отсутствии новых аналитических интегралов непосредственно нельзя из-за вырождения невозмущенной задачи: oet\\d2H0/dx2\\ =0. Эта трудность преодолевается тем, что канонические уравнения с гамильтонианами Я и ехр Я имеют одни и те же траектории (но не решения). Следовательно, эти уравнения интегрируемы или неинтегрируемы одновременно. Остается заметить, что
ехр Я = ехр Я0+ц(ехр Я0)Я!+. . . и det||d2exp Но/дх2\\фО. Итак, мы получили, что уравнения ограниченной задачи трех тел в форме (6) не имеют независимого от функции Я формально-аналитического по параметру р, интеграла Ф = 2Ф,ц', коэффициенты которого — гладкие функции на множестве D X T2{у mod 2л}, где D — произвольная область в полуплоскости X1 >0.
в) «Перейдем к другой задаче, а именно задаче о движении тяжелого тела вокруг неподвижной точки . .. можно спросить, препятствуют ли существованию однозначного интеграла, отличного от интегралов живых сил и площадей, соображения, изложенные в этой главе» (Пуанкаре, [34], п. 86).
Группе симметрий, состоящей из поворотов тела вокруг вертикальной прямой, соответствует линейный интеграл у>: проекция кинетического момента на вертикаль постоянна. Фиксируя эту постоянную, понизим число степеней свободы до Двух. На четырехмерных интегральных уровнях Afr{<&, у} = с, <у,у> = 1} возникает гамильтонова система с двумя степенями свободы. Ее функция Гамильтона — полная энергии тела с фиксированным значением проекции <k,y>— равна Я0-(-еЯь где
25-1
233 H0 — кинетическая энергия (функция Гамильтона интегрируемой задачи Эйлера о движении тела по инерции), a Hx — потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести (е — произведение веса тела на расстояние от центра масс до точки подвеса). Будем считать параметр е малым (ср. с п. 2.1, гл. 5, пример 2). Это эквивалентно изучению быстрых вращений тела в умеренном силовом поле. В невозмущеиной интегрируемой задаче Эйлера можно ввести переменные действие — угол /, ф. Формулы перехода от специальных канонических переменных L, Gt I, g к переменным действие — угол It ф можно найти, например, в работе [12]. В новых переменных H= = Я0(/)+е//)(/, ф). Переменные действие Iu h могут изменяться в области Д={|/і|<;/2, 0}. Гамильтониан H0(IitI2)-однородная функция степени 2, аналитическая в каждой из четырех связных подобластей Д, на которые делят область три прямые лі, л2 и /| = 0. Уравнение прямых л і и яг есть 2 H0/122 = =Aj1- Они симметричны относительно вертикальной оси и стремятся к прямой /і = 0, когда A2-^-Ax и к паре прямых |/i 1=^2, когда Ar^-A3 (напомним, что Au A2t A3 — главные моменты инерции тела и Ax^ A2^ A3). Линии уровня функции H0 изображены на рис. 57.
Разложение возмущающей функции H1 в кратный ряд Фурье по угловым переменным фі и ф2 фактически содержится в одной из работ Якоби:
Когда главные моменты инерции подчинены неравенству Ах>А2>А3, множество Пуанкаре состоит из бесконечного числа прямых, проходящих через точку 7=0 и накапливающихся у пары прямых Л| и л2. Можно показать, что функция H0 невырождена в области Д. Если функция H была бы аналитичной по 7 по всей области А, то можно было бы применить результаты п. 1.1: точки лежащие на прямых яі и лг, удовлетворяли бы условиям теоремы 1. Трудность, связанную с аналитическими особенностями функции Гамильтона в переменных действие-угол, можно преодолеть, рассматривая задачу о дополнительном
Рис. 57
т
234 интеграле, аналитическом на всем интегральном уровне Mc. С помощью метода Пуанкаре доказывается
Теорема 6. Если тяжелое твердое тело динамически несимметрично, то уравнения вращения не имеют независимого от функции Н0+гН\ формального интеграла с аналитичес-
кими на уровне Afe коэффициентами ([12]).
Это утверждение дает отрицательный ответ на вопрос, поставленный Пуанкаре в [34] (п. 86).
§ 2. Расщепление асимптотических поверхностей
Невырожденные неустойчивые периодические решения имеют асимптотические многообразия, заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к периодическим траекториям при г—>-± оо. В интегрируемых гамнльтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неиитегри-руемых случаях ситуация иная: асимптотические поверхности могут пересекаться ие совпадая, образуя в пересечении довольно запутанную сеть (см. рис. 44). В этом параграфе мы опишем восходящий к Пуанкаре способ доказательства иеиитегри-руемости, основанный на анализе асимптотических поверхностей гамнльтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых.
