Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть для /=/° частоты toi и ы2 невозмущенной интегрируемой задачи соизмеримы, причем юі^О. Тогда возмущающая функция #і(/°, сії t, юг /+А.) периодична по t с некоторым периодом Т. Рассмотрим ее среднее значение
S г
77, (/о, A.) = Iim-I- ^ Hx (/о, to,*, O2* + A) dt = ~ J Hxdt.
о о
Теорема 4 (Пуанкаре). Предположим, что выполнены следующие условия:
1) det \\д2Н0{дІ2\\ФО в точке I = I0,
2) при некотором A=A,* производная д/Л/дА = 0, а д2Нх1д\2Ф ФО.
Тогда при малых е^=0 существует периодическое решение возмущенной гамильтоновой системы (1), период которого равен Т\ оно аналитически зависит от параметра е и при е = 0 совпадает с периодическим решением невозмущенной системы
I = I0, фі=©і/, ф2 = (й2* + А*.
230 Два характеристических показателя ±а этого решения можно разложить в сходящийся ряд по степеням Уе:
а = а, Кв + 02е + а3еі/е+ ..
причем
S-+^)- (4)
С доказательством можно познакомиться по книгам [34], [12]*
Функция Hі (7°, А.) периодична по А. с периодом 2я. Значит, существуют по крайней мере два значения А,, при которых JHlIdk=O. В общем случае эти критические точки невыроЖде-ны. При этом локальных минимумов (где д2Нх/дА,2>0) ровно столько, сколько локальных максимумов (где ^2ZZ1/<? A2 <0). В типичной ситуации при Z =/о квадратичная форма
<5>
Кстати сказать, это условие геометрически означает отсутствие перегиба у кривой H0(I) =h в точке I=I0. Таким образом, уравнение dHi=0 будет иметь столько же корней, для которых а*> 0, сколько корней, для которых а ,2<0. Это равносильно тому, что при малых значениях е^О возмущенная система будет иметь ровно столько периодических решений эллиптического типа, сколько она имеет решений гиперболического типа. В этой ситуации обычно говорят, что при распаде невозмущенного инвариантного тора I=I0 рождаются пары изолированных периодических решений. Согласно результатам КАМ-те-ории, траектории типичных эллиптических периодических решений «окружены» инвариантными торами. Гиперболические периодические решения имеют две инвариантные поверхности (сепаратрисы), заполненные решениями, асимптотически приближающимися к периодической траектории при *-»-±оо. Различные асимптотические поверхности могут пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть (см. рис. 44). Поведение асимптотических поверхностей будет подробно обсуждаться в следующем параграфе.
Принципиальной основой доказательства неинтегрируемости возмущенных уравнений является лемма 1: если F=F0(7, ф) + +eFi(/, ф) + ... — первый интеграл канонических уравнений (1), то Fo не зависит от ф и функции H0 и F0 зависимы на множестве Пуанкаре. Первая часть леммы вытекает из невырожденности невозмущенной задачи. Используя теорему 3, мы докажем зависимость функций H0 и F0 на множестве невозмущенных торов I = I0, которые удовлетворяют условиям теоремы 4 и неравенству (5).
231 <3 Действительно, периодические решения Г(е), рождающиеся из семейства периодических решений на резонансном торе удовлетворяющем условиям теоремы 4, не вырождены. Поэтому (теорема 4) функции HkF зависимы во всех точках траектории Г (є). Устремим є к нулю. Периодическое решение Г (є) перейдет в одно из периодических решений Г (0) невозмущенной задачи, лежащее на торе I = P, а функции HhF станут равными H0 и F0. По непрерывности они будут зависимы во всех-точках траектории Г(0). Следовательно,
ranS 0(1, <р) < 1
в точках (/, Ф)бГ(0). В частности, в этих точках
д (/,, /г)
Для завершения доказательства осталось заметить, что функции H0 и F0 не зависят от ф. t>
При малых фиксированных значениях параметра гф0 теорема 4 гарантирует существование большого (но конечного) числа различных изолированных периодических решений. Поэтому из этой теоремы нельзя вывести неинтегрируемость возмущенной системы при фиксированных значениях еФ0. Правда, в случае двух степеней свободы, который мы как раз рассматриваем, справедливо следующее утверждение: если невозмущенная система невырождена, то при фиксированных малых значениях 6=^0 возмущенная гамильтонова система имеет бесконечно много различных периодических решений. К сожалению, они могут быть не изолированы. Существование бесконечного числа периодических решений выводится из теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений (гл. 5, п. 3.2) и геометрической теоремы Пуанкаре — Биркгофа (см. [6]).
1.3. Приложения метода Пуанкаре, а) Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной нами в § 5 гл. 2. Предположим сначала, что масса Юпитера ц равна нулю. Тогда в «неподвижном» пространстве астероид будет вращаться вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским орбитам. Пусть орбиты — эллипсы. Тогда удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне L, G, I, g (см. пример 4, п. 2.1, гл. 4). В новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с функцией Гамильтона F0= =—4zL2. Если H^fcO, тб полный гамильтониан F можно разложить в ряд по возрастающим степеням ц, : F=F0+\iFi+ ... . Поскольку в подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, то функция Гамильтона F зависит от L, G, I и g—t. Положим Jfi = L, ж2 = 6, і/, = /, y2=g—t и H=F-G.
