Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Если зависимость А, от et аналитическая, то А/= = 0(ехр(—с~'/е)), c = const>0 [106], [116]. Действительно, согласно предложению 3, можно ввести величину J, которая испытывает вдоль движения лишь экспоненциально малые колебания, а при f-»-±oo совпадает с I.
Для линейного осциллятора
с аналитической частотой ©(е/) >const>0 известна асимптотика А/ [66], [122]. Ее вычисление основано на аналитическом продолжении решения в область комплексных значений времени t.
В [116] найден метод аналитического продолжения для решений нелинейных возмущенных систем и с его помощью вычислен показатель экспоненты в формуле для А/, а для ряда случаев — предэкспоненциальный множитель. Показатель экспоненты оказался равным минимуму из мнимых частей приращений фаз в невозмущенном движении
вдоль путей на комплексной плоскости времени t от вещественной оси до особых точек гамильтониана и до нулей невозмущенной частоты в верхней полуплоскости (рис. 56).
X = —to2(et)x, ©(+ oo) = (D±
<Р =
•т ая.(/- мер) Y--Tl
Imt
Ret
Рис. 56
223 4.5. Вечное сохранение адиабатических инвариантов. За
бесконечное время из-за накопления малых возмущений адиабатические инварианты могут сильно эволюционировать. Пример 25. Рассмотрим линейный осциллятор
je = —<і)г(1+ a cos &t)x, a=const<l.
При сколь угодно малы* е положение равновения может быть неустойчивым (явление параметрического резонанса [6]). Адиабатический инвариант изменяется неограниченно. Д
Оказывается, однако, что при периодическом изменении параметра такое несохранение адиабатического инварианта связано именно с линейностью системы (точнее, с независимостью частоты колебаний от амплитуды). В нелинейной системе при увеличении амплитуды частота меняется, и колебания не успевают еще нарасти, как нарушается условие резонанса.
Определение. Адиабатический инвариант называется вечным, если при —oo<f<oo его значение мало отличается от начального для достаточно малых е.
Теорема 27 ([5]). При медленном периодическом изменении функции Гамильтона нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы переменная «действие» / является вечным адиабатическим инвариантом. Большая часть фазового пространства задачи заполнена инвариантными торами, близкими к торам /=const.
< Сформулируем, прежде- всего, нужное условие нелинейности системы. В переменных действие — угол гамильтониан задачи имеет вид
Н=Но(1, т) + е//,(/. ф, т), т=е/, (41)
и 2п — периодичен по ф, X. Обозначим <о(/) —среднее по т от «адиабатической» частоты изменения фазы ©(/, т)=дН0/д1. В формулировке теоремы система считается нелинейной, если эта средняя частота зависит от /:
§?=0. (42)
Доказательство теоремы основано на результатах теории KAM (§ 3). Чтобы привести уравнения движения к стандартному виду теории KAM («основной задаче динамики»), нужно выполнить некоторые преобразования. Во-первых, введем вместо ф новую фазу
т
о
При этом главная часть гамильтониана перестает зависеть от
224 фазы т; гамильтониан
Э6=Эвй(1) + е50,(/, т),
где Ява — среднее значение #0(/, т) по т, а 36\ имеет по т период 2л.
Во-вторых, введем фазу в качестве нового времени. Гамильтониан задачи будет иметь вид (см. гл. 4, п. 1.1)
F=—tI=—tF0{—h)+Z2Fiiht т, є),
где Л — переменная, сопряженная фазе т (старый гамильтониан Ж с обратным знаком), F0- функция, обратная к 3@0.
Получилась рассмотренная в пункте 3.3. система с полутора степенями свободы и собственным вырождением. В силу условия (42) вырождение снимается. Согласно результатам пункта 3.3, в этой системе есть много инвариантных торов, близких к торам A = Const; значение Л вечно испытывает колебания с амплитудой порядка е. Поэтому в фазовом пространстве /, <р, т исходной системы есть много инвариантных торов, близких к торам /=const; значение / вечно испытывает колебания с амплитудой порядка е.
Замечание. Если параметры системы зависят от времени условно-периодически, причем набор частот eQ удовлетворяет обычным условиям несоизмеримости: I (&, Q) | >с-1 kGZm\ \{0}, то I также будет вечным адиабатическим инвариантом
[5]. А
Вечный адиабатический инвариант существует также (при некоторых условиях) в консервативной системе с двумя степенями свободы, гамильтониан которой плавно зависит от одной из координат [5]. Согласно теореме 24, движение в этой задаче приближенно описывается гамильтонианом HoiIt у, ех). Пусть фазовые кривые этого гамильтониана при фиксированном I замкнуты (как на рис. 46). Тогда в рассматриваемом приближении движение в фазовом пространстве происходит по двумерным торам, выделяемым условиями /=const, H0 = const. Это движение двухчастотно, причем одна из частот в '/є раз меньше другой. Если при заданном H0=const отношение частот изменяется с изменением /, то из результатов теории KAM вытекает наличие в точной системе большого числа торов, близких к торам приближенной системы. Как всегда в случае двух степеней свободы, отсюда следует вывод об устойчивости: переменная «действие» I вечно близка к своему начальному значению. Подробности см. в [5]. Из этого вывода вытекает, в частности, что осесимметричная магнитная ловушка примера 22 удерживает заряженные частицы вечно.
