Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 91

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 117 >> Следующая


sL-1Ic- "J"-0- >

— 00 —OO

Другое доказательство теоремы Пуанкаре можно найти в работе if45].

В автономном случае условие расщепления асимптотических поверхностей, расположенных на некотором фиксированном уровне энергии, можно представить в следующем виде:

OO

f {F0f HJdtJ=O, (14)

—OO

где F0 — интеграл невозмущенной системы. Если в точках не-238 устойчивых периодических траекторий dF0=0, то интеграл (14) заведомо сходится.

2.2. Расщепление асимптотических поверхностей — препятствие к интегрируемости. Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом H(z, t, е) =#о(г)+е#і(г, 0+О(«2) в предположениях п. 2.1. В частности, невозмущенная система имеет два гиперболических положения равновесия z±, соединенных двоякоасимптотическим решением t^Zo(t), t*R.

Теорема 8 (С.'В. Болотин). Пусть выполнены следующие условия:

OO

1) J' (H0, {Но, HM(Zoit), І)йіф0,

— OO

2) при малых е возмущенная система имеет двоякоасимп-тотическое решение t~z,(t), близкое К t~Z0(t).

Тогда при малых фиксированных значениях е^=и в любой окрестности замыкания траектории z,(t) уравнения Гамильтона Z=IdH не имеют полного набора независимых интегралов в инволюции.

Замечание. Условие 1) можно заменить на следующее: при некотором

OO

J (H0,.. .{Но, H,)...)(z0(t), t)dt±0.

' т

Если выполнено условие 1), то асимптотические поверхности заведомо не совпадают. Условие 2) выполнено, конечно, ие всегда. Приведем достаточное условие существования семейства двоякоасимптотических траекторий.

Пусть H0=Fi.....Fn — коммутирующие интегралы невозмущенной задачи, независимые на Ao+=Ao". Если

det

j{F„ Hi)(z0(t), t)dt=О,

— OO

00

1 (F1, {Fj, Hi))(z0(t), t)dt



то существует аналитическое по e семейство асимптотических решений t~z%(t). Это утверждение просто выводится из теоремы о неявной функции.

Если мы исследуем задачу о существовании независимых ин-аолютивных интегралов /^(z,/, е), l^i^n, аналитических (или формально аналитических) по параметру е, то условие 2) можно отбросить. В частности, если выполнено условие 1), то

239 ряды теории возмущении расходятся в окрестности расщепленных асимптотических поверхностей.

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности неустойчивых периодических решений z±+0(e) можно найти 2л-периодическую по t формальную каноническую замену переменных z~u, приводящую функцию Гамильтона H(z,t,e) к функции Я±(и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п = 1) формальные ряды замены переменных г-*и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (см. [175]).

Теорема 9. Предположим, что преобразование Биркгофа сходится и аналитически зависит от е. Если выполнено условие 1) теоремы 8, то при малых гфО уравнения Гамильтона не имеют полного набора независимых аналитических интегралов в инволюции.

В частности, при п = 1 достаточным условием неинтегрируемости является условие 1) (С. Л. Зиглин [71]).

Доказательство теоремы 9. Определим на поверхности Aoi функцию Ri по формуле

+ со

о

о

R-(Z)= \ {Н0, {Но, H,}} (z (t), t)dt,

— то

где t*+z (t)—асимптотическое движение невозмущенной системы с начальным условием z (0) = z.

Лемма 2. Функции R- определяются функцией H0, семейством поверхностей Af и симплектической структурой.

< Действительно, согласно результатам п. 2.1, функции

+ со

S>(z)=-z jj (Hx(z(t), t)-Hx(z„t))dt,

о

о

S-(Z)=B \ (Hx(z(t), t)-Hx(z_, t))dt

г

—OO

являются производящими функциями лагранжевых поверхностей Af с точностью до 0(е2). Но е/?* = {//<>. {#<>, 5±Н- >

Композиция преобразования Биркгофа со степенями отображения за период позволяет продолжить функции Hi с окрестностей критических точек и± (е) на некоторые окрестности W± асимптотических поверхностей Af. Так как возможное расщеп-

V {Но, {Но, Hi}}(z (t), t)dt,

240 ление поверхностей Ae+ и At имеет порядок Б, то при малых е окрестности W+ и W. пересекаются. Лемма 4. {Я+, Я"}#0 прие^О. <3 Положим

Hi (и, &) = Hq (и)+еЯ* (и) + О (в?). Так как H0 (и) = Н0(и), то

{Н\ Н-}=е {//0, Я,--Я1+}+0(е2). Поскольку A0"—инвариантное асимптотическое многообразие гамильтоновой системы U = IdH0, то, согласно лемме 3, о

{Но, H1-} (и) = J {Н0, {Н0, H1-)) («о (<)) dt = Rr (и), иЄЛЛ

-Op

Аналогично

+ OO

{Я0, ЯГ} (и) = J {Я0, {Я0, Яі+}} (и0 (і)) dt = (и), ИЄА0+.

о

Следовательно,

OO

{Н\ H-)=E J {Я0, {Я0, Я,}}(20(0. +

-OO

Согласно условию 1), при малых є =^=O скобка Пуассона {Я+, Я-}#0. >

В новых переменных и интегралы F1,...,Fn не зависят от t. Пусть при гфО в некоторой точке Wjt П W_ интегралы F1,... ...,Fn независимы. Поскольку (Hi, Ft\ = Q, то вектор IdHi есть линейная комбинация векторов IdFi. Так как (FhFj)=O, то, очевидно, в этой точке {Я+, Я~}=0. Для завершения доказательства осталось заметить, что на всюду плотном множестве аналитическая функция {ЯЯ"} отлична от нуля. t> Теорема 10. Пусть л=1. Если
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed