Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим частный случай, когда плавнонеоднородное поле осесимметрично, причем его силовые линии лежат в плоскостях, проходящих через ось симметрии (рис. 51).
В цилиндрических координатах г, ft, z гамильтониан не зависит от угла О. Задача приводится к двум степеням свободы и, согласно теореме 24, может быть исследована до конца. Оказывается [51, движение в плоскости г, Z описывается гамильтонианом
E = y + + +гЕі(р, q, у, е).
Здесь a-, q — координаты вдоль и поперек силовой линии магнитного поля, около которой происходит движение точки (рис. 51) (эта линия выделяется условием сохранения импульса, сопряженного углу ft), В(ъх) — значение напряженности поля на этой линии. Отбрасывая в гамильтониане добавок порядка е, получаем потенциальный ров примера 20. Условие ловушки (37) показывает, какие частицы оказываются запертыми в этом рве. На этом принципе удержания заряженных частиц основано конструирование ловушек для плазмы, которые назы-
AbrriiiTHbJii момент равен потоку поля через ларморовский круг.
218 ваются адиабатическими [1801 (или ловушками с магнитными пробками). Гигантская естественная адиабатическая ловушка — магнитное поле Земли (рис. 52). Д
Адиабатические инварианты существуют и в системах с ударами.
Пример 23. При движении упругого шарика между двумя медленно движущимися стенками (рис. 53) адиабатическим инвариантом является произведение скорости шарика на расстояние между стенками. Этот факт можно установить непосредственным вычислением, а можно извлечь с помощью предельного перехода из теоремы 23. Д
Пример 24 ([881). При распространении лучей в плоском плавнонерегулярном" световоде с зеркальными стенками (рис. 54) адиабатическим инвариантом является произведение расстояния между стенками иа синус угла между лучем и стенкой. Д
Рис. 53 Рис. 54
4.2. Адиабатические инварианты многочастотных гамильтоновых систем.
Определение. Функция фазовых координат и параметров называется почти адиабатическим инвариантом, если для любого р>0 мера множества начальных условий, для которых изменение этой функции вдоль решения превосходит р за время 1/е, стремится к нулю при е стремящемся к 0.
Рассмотрим гамильтоиову систему с п>2 степенями свободы, гамильтониан которой зависит от плавно изменяющегося параметра А.. Предположим, что при каждом фиксированном X система вполне интегрируема, так что можно ввести переменные действие — угол /, <р. Для этой системы справедливы предложения 1 и 2 п. 4.1 (доказательство дословно то же): изменение /, ф описывается системой вида (36), а «действия» I — интегралы усредненной системы. Как ведут себя переменные / в точной системе?
Предположим, что ЛеїдіНо/дРфО. Тогда, согласно теореме 8, изменения величии / остаются меньшими р>0 в течение времени 1/е, если пренебречь множеством начальных условий меры суё/р в фазовом пространстве (которое предполагается здесь компактным, c=const>0). Таким образом, переменные
¦> Световод называется плавнонерегулярным, если вдоль него плавно меняется его ширина и направление стеиок.
26-2
219 «действие» / являются почти адиабатическими инвариантами невырожденной многочастотной гамильтоновой системы.
Если система двухчастотна, то оценку для изменения переменных / можно уточнить с помощью результатов п. 1.6.
Примеры показывают, что уже в двухчастотных система_х может существовать множество начальных условий меры Уе, для которых почти адиабатический инвариант изменяется на величину 1 за время 1/е из-за застревания на резонансе [48]. Адиабатическая инвариантность в одночастотных системах сохраняется в течение времени, много большего 1/е, а при периодическом изменении параметра к— даже вечно. В многочастотных системах картина совершенно другая. Примеры показывают, что за время 1/е3'2 для множества начальных условий меры порядка 1 почти адиабатический инвариант может измениться на 1 из-за временных захватов в резонанс.
Выше предполагалось, что при каждом фиксированном к система вполне интегрируема. Почти адиабатический инвариант существует и в противоположном, гораздо более распространенном случае, когда при каждом к на почти всех уровнях энергии Е{р, q, Л.) =Const движение эргодично. Предположим, что поверхность Е(р, q, Я)=Л — гладкая и ограничивает конечный фазовый объем". Обозначим этот объем /(Л, Я). Функция І(Е(р, q. Я), Я)—почти адиабатический инвариант [160].
Детально изучены адиабатические инварианты линейных многочастотных систем [164]. Эта теория относится к линейным гамильтоновым системам с периодическими по времени коэффициентами, зависящими, кроме того, от плавно изменяющегося со временем параметра k = k(et). Предполагается, что при каждом фиксированном Я система сильно устойчива, т. е. она устойчива и любое достаточно малое изменение коэффициентов не нарушает устойчивости. Все мультипликаторы сильно устойчивой системы лежат на единичной окружности и отличны от ±1 (см., например, [61). Поэтому при изменении Я мультипликаторы перемещаются по верхней и нижней единичным полуокружностям, не переходя с одной полуокружности на другую2'.
