Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
2.1. Условия расщепления. Пусть V — гладкое л-мерное пространство положений гамильтоновой системы, Т* V—ее фазовое пространство, H :T*VxR(t}-*-R— функция Гамильтона. В расширенном фазовом пространстве m = T*VxR2{E,t} уравнения движения снова гамильтоновы:
*-дК и- дк P- дК дК П\
х~~дГ' у---IT' с—W 1--~дЁ~'
тде K=H(у, х, t)-E, x?V, увТ'У.
Гладкая поверхность АпНс.М называется лагранжевой, если для любого стягиваемого в точку замкнутого контура Y
§ydx—Edt
y
(E=H(y,x,t) на поверхности An+1) равен нулю. Лагранжевы поверхности инвариантны относительно действия фазового потока системы (7). В автономном случае лагранжевы поверхности ЛnczT*V задаются условием
§ydx=0 (ycA", <?y=0).
y
Если лагранжева поверхность Anfl однозначно проектируется
26-2
235 на DxR{t}, DcV, то ее можно поедставить в виде графика
//(**. о-
где S:D X R-* R — некоторая гладкая функция. В автономном случае Л" задается графиком
хф.
Функция S(Jt, t) удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби:
+ //(?.*. і\ =0.
і
В этом параграфе мы будем иметь дело с лагранжевыми поверхностями, составленными из асимптотических траекторий. Такие поверхности естественно назвать асимптотическими.
Предположим, что функция Гамильтона 2л-периодична по t и зависит еще от некоторого параметра е : H = Hiy, х, t, е). Пусть при е = 0 функция H(y,X,t,0)=Ho(y,X) не содержит времени и удовлетворяет следующим условиям:
1) Существуют две критические точки i/_, X- и у+, X+ функции H0, в которых собственные значения линеаризованной гамильтоновой системы
•_ дН9 • дН,
У--дх ' ду
о
действительны и отличны от нуля. В частности, 2л-периодичес-кие решения x±(t)=x±, y±(t)r=y± имеют гиперболический тип.
2) Если A+(Am) —устойчивое (неустойчивое) асимптотическое многообразие в Т* V, проходящее через точку х+, у+, (лс_, у~), то A+ = A-. Отсюда вытекает, в частности, что Н0(у+, х+) = = Н0(у-, х-).
3) Существует область Dc=V, содержащая точки х±, такая, что в T*DczT*V уравнение поверхности A+=A-" можно представить в следующем виде: y = dS0/dx, где S0 — некоторая аналитическая функция в области D. Полезно рассмотреть дифференциальное уравнение
• дН» I oS о /о\
- У-^-тгг-
ду Iwjr,' » дх
В малой окрестности точки х± его решения стремятся при t-*--*-±оо к точке х±.
4) Уравнение (8) имеет в области D двоякоасимптотичес-кое решение: x0it)-*-x+ при /->-±оо (рис. 58).
Гамильтонову систему с функцией Гамильтона H0 следует рассматривать как невозмущенную. В приложениях она чаще всего бывает вполне интегрируемой. Пусть D+(D_) — подоб-
236 Рис. 58
ласть D, содержащая точку и не содержащая
При малых значениях є асимптотические поверхности A+ и А~ не исчезнут, а перейдут в «возмущенные» поверхности ЛЕ+ и Ae-. Более точно, в области D+XR {<} уравнение асимптотической поверхности можно представить в следующем виде:
где 5±(х, /, є)—2я-периоднческая по t функция, которая определена и аналитична при x?D± и малых значениях е (Пуанкаре, [34]). Функция Si должна, конечно, удовлетворять уравнению Гамильтона — Якоби
| + О)
Согласно предположению, при є = 0 поверхности Ao+ и Ao-совпадают. Однако, как заметил впервые Пуанкаре [34], в общем случае при малых значениях параметра поверхности Ае+ и At-, рассматриваемые как множества точек в Т* (D+HO-) XR, уже не будут совпадать. Это явление называется расщеплением, асимптотических поверхностей. Очевидно, что Лг+ совпадает с As- тогда и только тогда, когда уравнение (9) имеет решение S(x,t,e), аналитическое по х во всей области D.
Теорема 7 (Пуанкаре). Если Н\(у+, х+, t) =Hi(y-, x~,t) и
со
j {Но, Hx) (у (X0 (*)), X0 (0. t) dt=h 0, (10)
— OO
то при малых значениях параметра є =^O возмущенные асимптотические поверхности и AJT не совпадают.
О Предположим, что уравнение (9) имеет аналитическое решение S (х, t, є), которое при малых значениях s можно представить в виде сходящегося степенного ряда
S = S0 (X, t)-\- sS і (х, О+----Функция Sq должна удовлетворять уравнению
Откуда S0 = — ht + W (je), где /г = Нй(у х±), a W —решение
237 уравнения
Я0(^, x) = h.
Ясно, что W совпадает с функцией S0(Jt).
Пусть H = H0 (у, х) + єН1(у, X, t) +____ Тогда из (9) мы
получим квазилинейное диффёренциальное уравнение для S1:
Так как уравнение (8) автономное, то оно вместе с решением jc0(Z) имеет семейство решений х0 (il-f а), аSR- Из (11) следует, что на этих решениях
SlMt+а), t) = t
= S1 (X0 (а), 0) - J Я, (у (х0 (t a)), JC0 (t +а), t) dt. (12)
о
Без ущерба общности можно считать, что H1 (у-, хт, t)=0 для всех t. Если это не так, то вместо возмущающей функции следует взять функцию H1-Нх(у±, t). При этом скобка Пуассона {Я0, Hi) не изменится.
Поскольку разложение Тейлора функции H1 в окрестности точек х±, у± начинается с линейных членов по х—х±, у — у± и функции Xо(0 —Xt, y(x0(t))—y-c экспоненциально быстро стремятся к нулю при і-* ± оо, то интеграл
OO
J (a) = J' H1 (Уо (І +а), X0 (t + а), t) dt (13)
— OO
сходится. Из уравнения (12) следует также, что значение S1 (X, t) в точках jc ? не зависит от t. Согласно (12), интеграл J (а) равен S1 (х+) — S1 (х_) и поэтому не зависит от а. Для завершения доказательства осталось вычислить производную
