Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
4. Можно показать, что периодические траектории, лежащие в А, являются гиперболическими и, следовательно, невырожденными. С другой стороны, они плотны в А, а множество А является ключевым в В. Поэтому отсутствие аналитических интегралов можно установить методом Пуанкаре (см. п. 1.2).
§ 4. Неинтегрируемость в окрестности положения равновесия (метод К. Зигеля)
Еще один метод доказательства неинтегрируемости основан на оценках снизу коэффициентов степенных рядов для формальных интегралов. Причиной расходимости здесь оказываются аномально малые знаменатели, то есть в конечном счете влияние резонансов, близких к изучаемому положению равновесия.
Рассмотрим каноническую систему дифференциальных уравнений
^=<!<*<«> (26) и предположим, что // — аналитическая функция в окрестности точки л: = i/=0, причем H (O) = O и dH (0)=0. Пусть H=^Hs,
S >2
где Hs-однородный полином от X и у степени S.
Пусть Xi.....X2n — собственные значения линеаризованной
253 канонической системы с гамильтонианом H2. Можно считать, что Xn+*=—Я» (1 Будем рассматривать случай, когда
числа X1,..., Л„ чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел.
В этом параграфе мы исследуем полную интегрируемость уравнений (26) в окрестности положения равновесия х=у=О и сходимость нормализующего преобразования Биркгофа.
Рассмотрим множество 36 всех степенных рядов
k=(klt...t kn), s= (Si,..., sn),
сходящихся в некоторой окрестности точки X=у=0. Введем в 36 следующую топологию : окрестностью степенного ряда Н* с коэффициентами Л*.* мы будем называть множество степенных рядов с коэффициентами Л*„ удовлетворяющими неравенствам I hks—Ла>*|<єа5, где ел, — произвольная последовательность положительных чисел.
Теорема 14. В любой окрестности любой точки Н*Ь36 найдется гамильтониан H такой, что соответствующая каноническая система (26) не имеет независимого от функции H интеграла, аналитического в окрестности равновесия х=у = 0.
Таким образом, неинтегрируемые системы всюду плотны в 36. В частности, всюду плотны гамильтоновы системы, для которых расходится преобразование Биркгофа. Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Пусть
F = -ZfktXky- (27)
формальный интеграл уравнений (26), независимый с функцией Н. Его существование вытекает из теоремы Биркгофа (гл. 4, п. 1.3). Можно показать, что в любой окрестности точки Н*(:36 найдется гамильтониан Я, которому отвечает формальный ряд (27), причем бесконечно много его коэффициентов удовлетворяют оценке Iful^mm', где m=|fc| + |s|. Это достигается выбором собственных значений Яь •.•, Я„, достаточно быстро приближающихся рациональными числами. С другой стороны, если уравнения (26) имеют аналитический интеграл, независимый от Я, то справедлива оценка |A.|<cmm, c = const. Все детали доказательства можно найти в работе [35]-.
Относительно расходимости преобразования Биркгофа справедлива более сильная.
Теорема 15 ([36]). Функции Гамильтона Я со сходящимся преобразованием Биркгофа образуют в 36 подмножество первой категории Бэра" в топологии 3~.
Более точно, Зигель (С. L. Siegel) доказал существование бесконечного счетного множества аналитически независимых
" То есть его можно представить в виде конечного или счетного объединения нигде не плотных множеств.
254 степенных рядов ф|, Ф2,... от бесконечного числа переменных
абсолютно сходящихся при |А*,|<е (для всех k, s) таких, что если точка H?3? сходящимся преобразованием Биркгофа приводится к нормальной форме, то в этой точке почти все Ф, (кроме, быть может, конечного числа) обращаются в нуль. Так как функции Ф, аналитичны, их нули нигде не плотны в Ж. Следовательно, множество точек из 36, удовлетворяющих хотя бы одному уравнению Ф. = 0, имеет первую категорию в смысле Бэра. Если мы попытаемся исследовать сходимость преобразования Биркгофа в какой-нибудь конкретной гамильтоновой системе, то придется проверить выполнение бесконечного числа условий. Для этого не известно никакого конечного метода, хотя все коэффициенты рядов Ф, можно явно вычислить. Доказательство теоремы основано на тщательном анализе изолированных долгопериодических решений в окрестности положения равновесия. Так что в идейном отношении оно также восходит к более ранним исследованиям Пуанкаре (см. п. 1.2).
Замечание. Введем в множестве 36 новую топологию У, рассматривая в качестве окрестностей ряда с коэффициентами hk.* все сходящиеся степенные ряды с коэффициентами hk„ удовлетворяющими неравенствам |А»,—Л*,*|<е при + + jsj^N для некоторых е>0 и Л^З. Можно показать, что относительно топологии множество гамильтонианов со сходящимися преобразованиями Биркгофа всюду плотно в 36. Действительно, если в формальных степенных рядах, задающих преобразование Биркгофа, мы отбросим члены степени больше N, а затем подправим коэффициенты ряда данного гамильтониана при старших членах, то получим сходящееся каноническое преобразование, приводящее модифицированный таким способом гамильтониан к нормальной форме. Отметим, что топология T', конечно, много слабее топологии
