Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
247 гиперболо-эллиптическими (параболо-эллиптическими). Финальный тип движений третьего вида пока не определен.
Предложение 2. Каждое решение уравнения (22) принадлежит одному из этих трех видов (как при /-»-+оо, так и при /-»—оо).
Несложное доказательство основано на использовании свойств а—с функции Q.
Пусть x(t) — решение уравнения (22) со следующими начальными данными: дс(т)=0, jc(t)=u>0. Здесь возможны два случая. В первом из них функция х монотонно возрастает при /—»- + оо; это решение является либо гиперболическим, либо параболическим. Во втором случае х достигает максимума X+ (с, т), а затем убывает до значения х = 0. Введем функцию
A+ (V, т) =
Здесь
2
о"
^ Q0(x)dx—B первом случае,
J Qo(x)rfjc—во втором случае.
2л
Qo=і S ^dt-
Аналогично определяется функция h~ (v, т) (когда / -*¦ — оо). В стационарном случае fi*(v)==h-(v). В дальнейшем анализе важную роль играет постоянная
OO
J=$Qo(x)dx,
о
существующая согласно условию с. Если Q не зависит от времени, то / — полная энергия параболического движения. Можно показать, что Ai — дифференцируемые функции.
Рассмотрим на плоскости 2 с полярными координатами v, тшо02л две кривые П*=^*=/}. Эти замкнутые дифференцируемые кривые ограничивают на 2 некоторые открытые области /?*, содержащие точку и = 0.
Предложение 3. Если точка (v, т) лежит вне (на) Ili, то функция x(t) монотонна и движение гиперболическое (параболическое) при /-»-±оо. Если же точка (v, т) лежит внутри /?*, то x(t) имеет хотя бы один нуль при /^г.
<3 Неравенство Л+>/ эквивалентно условию Xlt(t>, т) = = оо, что, в свою очередь, влечет равенство h+—/ = лг2( + оо)/2. Если jt( + oo)>0 ( = 0), то движение гиперболическое (параболическое)^
Согласно предложению 3, для точек (и, т) из R+ определено естественное отображение S: (v, т) (и', т'), где т'— бли-
248 жайший к г нуль функции x(t), v' — скорость точки в момент т' (в силу симметрии х-*-—X можно считать, что i/>0; см. рис. 62). Ясно, что SR+ = R- и Л+ о 5 = Л".
t)>____
Рис. 62
Лемма 5. Отображение S: R+^-R- сохраняет площадь на 2.
<3 Уравнение (24), разумеется, гамильтоново с функцией Гамильтона H (у, х, t)=y2/2+U(x, t), где у=х. Пусть Г — замкнутый контур в области R+ и пусть F = S(T). В силу теоремы об интегральном инварианте
§ ydx—Hdt = § ydx — Hdt<=>§ v2dx=§ v2dx. >
г г Г Г'
Из этого утверждения выводится, в частности, Предложение 4. Почти все решения, колеблющиеся в прошлом, будут колеблющимися в будущем, и наоборот.
<3 Пусть Am-множество точек (V, т)б2, при которых решение x(t) имеет бесконечно много нулей при t> т и ровно т. нулей при t< т. Ясно, что S (Am) = А т+и mes (Am)=mes (Лт+1) (лемма 5) и A1=Q при kj=l. Нас интересует мера множества Л = U Am. Если mes Атф0, то mes Л = оо. Но мера А
т>О
конечна, поскольку это множество целиком лежит в круге радиуса
2у п]V(x)dx.
о
Действительно, умножая уравнение (24) на і и интегрируя в пределах от т до t, будем иметь:
Mt)
^--= J Q(x, t)dt.
J б
Осталось воспользоваться неравенством Q<2n4r(x) при x>0, вытекающим из условия е). D>
Поскольку области R+ и R~ имеют непустое пересечение и их меры совпадают, то границы П+ и П~ пересекаются по крайней мере в двух точках. Мы будем предполагать в дальнейшем, что П+ и П- пересекаются трансверсально. Например,
25-1
249 в случае уравнения (25) при нулевом значении эксцентриситета П+ = П- = {u = >'2}. В силу симметрии задачи относительно момента соединсння т = 0, в общем случае кривые П+ и П~ имеют общие точки на луче т = 0. Можно показать, что по крайней мере при малых значениях е>0 кривые П+ и П" пересекаются в этих точках траневерсально.
В окрестности точки пересечения П~ и П" функции I=h*—J, и ii = ft-—/ можно принять за локальные координаты на 2. Рассмотрим малый квадрат ? = hil^e}. Можно показать, что при малых значениях е множество S(?fl^) является «спиралью», наматывающейся на кривую 11~, а множество S~l (Bf)R-) является аналогичной спиралью, наматывающейся на П" (см. рис. 63). Это »ваяется следствием гиперболичности
Рнс. 63
отображения S(5 "1) и окрестности точки | = ц = 0: отображение 5 является сжимающим вдоль осп і( іі растягивающим вдоль оси I (подробности см. в [IJ). Множество 5(?n/?"H)D?n/?+ состоит уже из бесконечного числа спязпич компонент. Каждая из Hiix при отображении 5 переходит в узкую спираль, лежащую внутри спирали S(Bf)Rr). Итерируя отображение S как в положительную, так и в отрицательную сторону, мы будем получать все более узкие полоски в квадрате В, трансверсальио пересекающиеся друг с другом. В пределе мы получим канто-рово (совершенное нигде не плотное) множество AczB, инвариантное относительно всех иелых степеней отображения S. При этом орбита точки (и, т)(.А (т. е. множество Sn (v, т), HtZ) имеет очень запутанный вид, характерный для случайного блуждания по множеству Л. Доказательство этих утвержпений можно найти в работах В. М. Алексеева [1]. Мы поясним с;.--занное на некотором модельном примере.
3.2. Символическая динамика. Рассмотрим единичный квадрат B= {(х, у)(!R2 : 0<дс, ys^l) и определим отображение квадрата В в себя по формулам:
