Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
если то Xі- Зх, u~yl3, (24)
если 2/з<*<1, то jc~ Зх—2, у—у/З+'/з.
250 В полосе 1/3<jc<2/3, 0<у< 1 отображение S не определено. Геометрический смысл преобразования S:B^>-B ясен из рис. 64.
Рис. 64
Выясним, как устроены множества SnBczB при я>1. Для того' чтобы получить SB, надо из квадрата В выбросить горизонтальную полосу [О, IJ X (1/3, 2/3). Если из оставшихся двух полос выбросим более узкие полосы [0, 1] X [1/9, 2/9] и [О, 1]Х X [7/9, 8/9], то получим множество S2B и т. д. (см. рис. 65). Продолжая этот процесс неограниченно, мы придем к множеству [О, 1]Х/С|о,цСВ (здесь /С|о,іі —канторово мнсжество на отрезке [0, 1]), на котором определены все отрицательные степени S. Рассуждая точно так же, мы получим, что на множестве Zfto1II X [0, 1] определены все положительные степени отображения S. Следовательно, на прямом произведении канторовых множеств Л = /С|0,1| Х/С|0.1| определены все целые степени S.
Как же устроено отображение S:A-»-A? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, введем пространство І2 последовательностей и={(¦)„} нулей и единиц, где п пробегает все целые значения. Зададим в Q топологию Sf, определив следующим образом сходимость: последовательность (й(і)бй сходится к wgQ, если (I)W-XOn при всех п.
Лемма 6. Пространство (Q, У) гомеоморфно Л.
<3 Действительно, последовательности {(¦)„} можно поставить в соответствие два числа
которые принадлежат, очевидно, /C1O, ц. Легко сообразить, что это соответствие — гомеоморфизм. [>
Пусть T — отображение Q на себя, которое переводит <о = = {(о„} в = {©„+і} (сдвиг всех индексов на единицу).
Теорема 12. Существует гомеоморфизм f : A-*-Q такой,
Рис. 65
(25)
26-2
251 что коммутативна диаграмма
Л->Л
а г і/
1.2-* ?2.
Доказательство основано на простом сопоставлении формул (24) и (25).
Таким образом, каждой траектории Sn(а), а?В, nbZ, целиком содержащейся в квадрате В, мы поставили в соответствие последовательность символов ш={(1)п}, причем действию отображения S отвечает сдвиг всех символов на единицу влево. Этот метод кодировки траекторий, восходящий к работам Биркгофа, Морса (Н. М. Morse), Хедлунда (G. Hedlund), составляет содержание «символической динамики». Более подробно с ней можно познакомиться по работам [1], [33].
Из теоремы 12 вытекает ряд важных следствий.
Предложение 5. Отображение S: А-*-А обладает следующими свойствами:
1) любые Две периодические траектории можно соединить двоякоасимптотической траекторией,
2) периодические точки плотны в Л,
3) существуют траектории, всюду плотно заполняющие Л.
<3 Действительно, периодической траектории соответствует
точка (a) = (... a, a, a,...) 6Q, где а — конечный блок из нулей и единиц. Пусть точкам (а), (fr)6Q отвечают две периодические траектории. Тогда последовательности (..., а, а, Ь, Ь,...) отвечает, очевидно, искомая двоякоасимптотическая траектория. Далее, любому элементу ©6Q можно поставить в соответствие последовательность u)(n)= (an)6fi, где а« = = {©_„,...,©„}. Очевидно, что <і)(п,-*чі). Рассмотрим, наконец, точку такую, что в последовательности {©«*}, начиная с некоторого места, подряд записаны все конечные блоки из нулей и единиц. Легко понять, что замыкание орбиты U?'"«* (n€Z) совпадает с Q. >
3.3. Отсутствие аналитических интегралов.
Теорема 13. В предположениях пункта 3.1 дифференциальное уравнение (24) не имеет первого интеграла, аналитического по л, X, t и 2я-периодического по t.
Если такой интеграл существует, то отображение S : R+-*--*-R~ из п. 3.1 имеет непостоянную аналитическую инвариантную функцию f(v, т). Можно показать, что ограничение 5 на канторово инвариантное множество А обладает свойствами, перечисленными в предложении 5 (см. [1]). В частности, в силу непрерывности, функция /=Const на множестве А. Из способа построения совершенного множества А вытекает, что для любой точки (и0, To) PQ существуют две последовательности точек из А, сходящиеся к (Уо. T0) по двум независимым направ-
252 лениям. Поэтому производные всех порядков ПО v и т в точке (уо. То) равны нулю. Для завершения доказательства осталось воспользоваться аналитичностью /. О
В заключение сделаем несколько замечаний.
1. Поскольку А нигде не плотно, то из этого рассуждения нельзя вывести отсутствие гладких первых интегралов.
2. Символическая динамика в ограниченной (и даже неограниченной) задаче трех тел из п. 3.1 построена в работах В. М. Алексеева [1]. С ее помощью В. М. Алексеев получил все логически возможные комбинации финальных типов движений по классификации Шази.
3. В окрестности гомоклинических периодических траекторий с трансверсальными асимптотическими поверхностями справедливо утверждение, аналогичное теореме 12. Строгое доказательство этого утверждения, восходящего к Биркгофу (1935), принадлежит Смейлу (1965) и Л. П. Шильникову (1967) (см. [33]). Отметим, что доказательство отсутствия аналитических интегралов (теорема 10) не зависит от свойства трансверсальности. Однако наличие нетрансверсальных асимптотических поверхностей может сильно влиять на качественное поведение траекторий (см. [33]).
