Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в гамильтоновой системе с п>2 степенями свободы зависимость гамильтониана E от всех координат, кроме одной (обозначим ее q), плавная: Е=Е(р, q, у, ех). Здесь q, х — координаты, а р, у — сопряженные им импульсы0. Адиабатический инвариант такой системы — это функция фазовых переменных, изменение которой мало на временах 1/е. Систему с одной степенью свободы, в которой вх=const, ^ = Const, назовем невозмущенной. Пусть фазовый портрет невозмущенной системы содержит замкнутые траектории (рис. 46), частота движения по которым отлична от нуля, так что можно ввести переменные действие — угол
/=/(/>, q, у, ех), ф=<р(р, q, у, ех)то<12я.
Обозначим через Я0(/, у, вх) гамильтониан Е, выраженный че-через I, у, ex.
Теорема 24. Переменная «действие» /— адиабатический инвариант системы с гамильтонианом Е(р, q, у, ех). Изменение переменных у, вх описывается с точностью порядка е на интер-
') Плавная зависимость гамильтониана от времени сводится к этому случаю введением времени в качестве новой координаты и добавлением сопряженного к нему импульса.
215 вале времени 1 /є системой с гамильтонианом Н0(І, у, гх), содержащим / в качестве параметра (это приближение называется адиабатическим).
<] Преобразование (р, <7)*-*(/, ср) можно дополнить преобразованием (у, ^) = (f/ + 0(e), х+0(1)) так, чтобы полное преобразование было симплектическим. Изменение новых переменных описывается гамильтонианом
Я = Я0(/, Y, еХ)+гН1(1, ф, Y, 'гХ, г).
Усредняя по фазе ф, получаем систему, описывающую изменение решений с точностью є на временах 1/е. Действие I — интеграл этой системы. [>
Замечания. 1. Если исходная система имеет две степени свободы, то теорема 2 приводит к системе с одной степенью свободы и усредненные уравнения интегрируются.
2. Та же величина / является адиабатическим инвариантом любой системы с гамильтонианом F = E(p, q, у, гх)+еЕх(р, q, у, X, є), отличающимся от E малым добавком, уже не плавно зависящим от х. Д
Пример 20. При движении в квадратичном потенциальном рве, вытянутом вдоль оси X (рис. 47), іимєєм р P'-'V 'J- + 0)=(6*)?' р* + а>Цех)д= „ __«/= . , .
E =-2-' 1--2^(17]-' "о—2- + /W (Є*).
Пусть, например, функция (о(ех) четная и при росте |х| сначала растет, а потом убывает (рис. 48а). Фазовый портрет системы с гамильтонианом H0 показан на рис. 486. Видно, что при не слишком большой начальной продольной скорости точка оказывается запертой в средней части рва (рис. 48в). Соответствующее условие на скорость («условие ловушки») обычно записывается в виде
JO2^Oot (37)
с (o0
где E1 = у2/2 и El = (p2-iraflqi)i2—значения энергии продольного и поперечного движений точки в середине рва (при jc=O), W0 и со,,, — минимальное и максимальное значения функции со (ex).
Справедливость этих выводов на временах 1/е следует из теоремы 24. На бесконечные времена они переносятся с помощью теории KAM (см. п. 4.5). Д
216 ш'
ex
Рис. 48
Пример 21. Коротковолновое возбуждение распространяется по лучам. Волновод — это потенциальный ров для лучей. Плавным рефракционным волноводом называется среда, показатель преломления которой плавно меняется вдоль некоторой кривой (оси волновода) и быстро—поперек нее; на оси волновода показатель преломления имеет максимум. Пусть, например, ось волновода — прямая линия, а среда двумерна (рис. 49). Тогда распространение лучей описывается системой с гамильтонианом
E=p2+y2—n2(q, ех),
где X — координата вдоль оси волновода, a q — перпендикулярно к ней, импульсы у, р задают направление луча, л2 — показатель преломления [881. Решения этой системы надо рассматривать на уровне энергии E=0.
ад.
0 CU
Рис. 49
Рис. 50
Вблизи оси показатель преломления можно считать квадратичным: л2=а2(едс)—b2(ex)q2. Тогда, в обозначениях теоремы 24
/=?!+р1, H0=^-U2 (гх)+21Ь(вх).
Эти соотношения позволяют описать поведение лучей. Лучевая картина показана на рис. 49 (для случая, когда нет «запирания» лучей, такого, как в примере 20). Таким способом описывается распространение света в световодах, распространение в слоистых средах коротких радиоволн и звука [881. Д
П р и м е р 22. В постоянном магнитном поле заряженная частица движется по спирали вокруг силовой линии поля. Это движение является композицией вращения вокруг силовой ли-
31-1
217 нии по окружности, называемой ларморовской, и дрейфа этой окружности (рис. 50). Гамильтонова система, описывающая это движение, имеет три степени свободы. Из-за инвариантности гамильтониана относительно сдвига вдоль поля и поворота вокруг направления поля число степеней свободы понижается до единицы. Все траектории приведенной системы периодичны, ее переменная «действие» — магнитный момент I = v±2/{2B), где v± — перпендикулярная полю составляющая скорости частицы, В — напряженность поля". Если теперь поле плавно неоднородно (мало меняется на длине ларморовского радиуса), то магнитный момент является адиабатическим инвариантом [180]. Теория движения в плавно неоднородном поле описана в [180] без использования гамильтоновского формализма; гамильтонова теория построена в [1531, [166].
