Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью метода Зигеля можно доказать всюду плотность неинтегрируемых систем в некоторых подпространствах Ж В качестве примера рассмотрим уравнение
(28)
которое описывает движение материальной точки в силовом поле с потенциалом U(x). Это уравнение, разумеется, можно записать в гамильтоновой форме:
х = Н/, у=-Hx'-, H = y2/2 + U(x). Пусть U (0) = 0, dU (0) = 0. Тогда точка JC=O будет положением равновесия. Положим U = ^iUs и пусть U2 = ^iUk2Xk2/2.
>2
Будем считать частоты малых колебаний w1,..., to„ рационально независимыми.
255 Введем пространство 41 степенных рядов
2
|*1>2
сходящихся в некоторой окрестности точки х=0. Снабдим tU топологией 3", указанной выше для пространства Ж.
Теорема 16. В пространстве tU с топологией всюду плотны точки, для которых уравнения (28) не имеют интеграла F(xt х), аналитического в окрестности точки х = дс=0 и независимого от интеграла энергии E=x2/2+U(x).
По-видимому, точки LJfitU, для которых преобразование Биркгофа к нормальной форме сходится, образуют в aU подмножество первой категории. Доказательство теоремы 16 содержится в работе [13].
В связи с анализом нормальных форм полезно иметь в виду следующее важное обстоятельство: расходящееся преобразование Биркгофа может сходиться на некотором аналитическом инвариантном многообразии Л, содержащем положение равновесия. Возникающая при этом динамическая система на Л будет интегрируемой. Классический пример такой ситуации доставляет нам
Теорема 17 (А. М. Ляпунов). Если при всех s>l отношение XiAi не является целым числом, то существует обратимое аналитическое каноническое преобразование х, у-%, которое приводит гамильтониан H(дс, у) к виду
0>(P) + 0(U|2),
где Ф —функция одной переменной р = ?і2+лі2. а ?=(5г,.... 1„ Лг. • • •. Л«)-
Таким образом, на инвариантном многообразии A= {?=0} гамильтонова система (28) приводится к системе с одной степенью свободы:
I1 = 2Фріі„ Пі = — 20»psi-
Следовательно, p = const и |i + irii = cexp(—2і'Фр')/. Фазовая плоскость R2= {Іі, Tjі} расслоена на инвариантные концентрические окружности Ii2H-Tjt2 = Р» по которым происходит равномерное движение с частотой Фр', зависящей от р, причем Фр'(0)=Х,/2.
Аналогичное утверждение справедливо и в том случае, когда среди характеристических чисел X, есть вещественная пара Xi, —Xj. В этом случае р = ?ітіі (подробности см. в [37]).
Замечание. Как показал Зигель, условие KJkfiZ (s> 1) в теореме Ляпунова отбросить нельзя. Обобщения теоремы на случай, когда это условие не выполняется, см. в работах Роэля (J. Roels) 1971 г.
256 Все сказанное выше с необходимыми изменениями можно распространить, например, на случай нормальных форм гамнльтоновых систем в окрестности периодических траекторий. Обстоятельный анализ сходимости нормализующих преобразований (причем не только уравнений Гамильтона) можно найти в книге А. Д. Брюно [61].
§ 5. Ветвление решений и отсутствие однозначных интегралов
В большинстве проинтегрированных задач гамильтоновой механики известные первые интегралы продолжаются в комплексную область изменения канонических переменных до некоторых голоморфных или мероморфных функций. В этом параграфе будет показано, что ветвление решений гамнльтоновых систем в плоскости комплексного времени в общем случае препятствует появлению новых однозначных первых интегралов.
5.1. Ветвление решений — препятствие к интегрируемости. Пусть Dct=VbCn-.ReIGDczR" |Im/|<6}, Tc = Cnl2nZn — комплексный тор (над R это TnXRn) с комплексно-угловыми координатами <рь ..., <р„ mod 2я, E — некоторая окрестность нуля в С. Пусть H:Dc,aXTcXE-*-C—голоморфная функция, которая при действительных значениях I, <р, е принимает действительные значения, причем #(/, <р, О)=Л0(/).
Прямое произведение DctiXTc снабжено простейшей симп-лектической структурой, в которой уравнения Гамильтона с гамильтонианом H имеют канонический вид:
W=+ (29)
Все решения системы с функцией Гамильтона H0 однозначны на комплексной плоскости времени /6С:
I = IO1 ф = <рО + й)(/0)Л
При вфО решения «возмущенных» уравнений (29), вообще говоря, уже неоднозначны. Пусть у — некоторый замкнутый контур на комплексной плоскости времени. Согласно известной теореме Пуанкаре, решения уравнений (29) можно разложить в степенные ряды
/ = /0+е/1 (*) + ..., «Р =.^0 +84 >(/) + ...,
/1(0)=...=^(0)=...=0, (30)
сходящиеся при достаточно малых значениях параметра є, если у.
Будем говорить, что аналитическая вектор-функция /(f), /PC неоднозначна вдоль контура у, если она испытывает скачок Д/' = !=?0 при обходе у- Если, например, функция /'(/, /°, <f°)
25-1
257 неоднозначна вдоль то при малых значениях параметра е возмущенное решение (30) тоже неоднозначно вдоль контура Y- Скачок ДZ1 равен, очевидно,
|=f<D(*)fltt, Ф(/)=_4?і.
J д'Р /»,Ф°+й)(/»)<
Если при фиксированных значениях Z функция Hi голоморфна в Tc, то, конечно, 6 = 0. Однако в практически важных случаях эта функция имеет особенности (скажем, полюсы). Поэтому мы будем считать функцию голоморфной лишь в области DctXQxE, где Q — связная область в Тсп, содержащая действительный тор Т„п и замкнутый контур Г, который является образом контура у при отображении <р = ф°-|-u>(I°)t, t?y.
