Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Зафиксируем начальные данные /°, <pQ и будем непрерывно деформировать контур у так, что при этом контур Г не пересечет ни одной особой точки функции Н. Тогда, согласно теореме Коши, функция Z1 (t) при обходе деформированного контура будет изменяться снова на ту же величину \ф0. С другой стороны, так как решения (30) непрерывны по начальным данным, то неоднозначность функции /'(/, Z0, <р°) вдоль контура у будет иметь место и для всех близких значений Z0, ф°.
Теорема 18. Пусть выполнены следующие условия:
1) det I <?2#о/<?721 ^O в Dc, о,
2) для некоторых начальных данных Z0, ф° функция Z1 неоднозначна вдоль замкнутого контура
Тогда уравнения (29) не имеют полного набора независимых формальных" интегралов
UO (-0
коэффициенты которых — однозначные голоморфные функции в ірямом произведении VXQciDc, ЛХГ?, где V —окрестность точки I0BDct ([79], [12]).
<] Укажем основные моменты доказательства теоремы. Как всегда, покажем сначала, что функции Ff, (I, ф) не зависят от ф. Пусть (I, <p)bDxTи F0'= 0)/+14',;. Тогда Ф?, Vj- первые интегралы невырожденной невозмущенной системы. Согласно лемме 1, они не зависят от ф?TRn. Когда фб?2, постоянство функциц F0' вытекает из связности области Q и единственности аналитического продолжения.
Затем докажем, что функции F1J (Z),...,Fv' (Z) зависимы в
'» Мы снова считаем, что формальный ряд F = SF,г' — интеграл канонических уравнений (1.1), если формально {H, F}== 0. Легко понять, что в этом случае композиция стеггенных рядов (1.2) и IFlZi будет степенным рядом с постоянными коэффициентами.
258 области VczDc,Действительно, так как FS(I, <р, е) —интеграл канонической системы (29), то эта функция постоянна на решениях (30). Следовательно, ее значения в момент времени tGy и после обхода контура у совпадают:
Fs0 (/»+е/1 (т) +...)+eFf (/о+еЛ (т) +..., фо+шт + +еф1 (t)+ ...)+.. . =^S (/0 + 8(/1 (T) + 6 (/0))+ . . .) + + eFf(/°+..., фО + шт+...)+....
Разлагая это тождество в степенные ряды по е и приравнивая коэффициенты при первой степени е, получим
A Fs
< ^f-, 0=0, 1<S<«.
Так как скачок Jj отличен от нуля в окрестности точки I0, то якобиан
.....fq) -П
с целой области V, содержащей точку /°.
С другой стороны, применяя метод Пуанкаре из § 1, можно доказать существование таких независимых интегралов
Ф,(/, Ф, ф>е'
|>о
с коэффициентами, голоморфными в области W7XQ (W — малая подобласть К), что функции Ф0',..., Ф? независимы^ Пример 1. Вновь рассмотрим задачу о быстром вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки. Функция Гамильтона Я в этой задаче есть Я0(/) + +еЯі (/, <р), /ЄДс=Я2{/}, <р6T2 (см. п. 1.3). Возмущающую функцию Я і можно представить в виде суммы
А,(/, ф1)є'ф. + А2(/, <р,)е-«р. + А3(/, ф,),
причем при фиксированных значениях /6Д функции h„(I,z) (l^s^3) — эллиптические (двоякопериодические мероморф-ные функции от ZfC). Следовательно, гамильтониан Я продолжается до однозначной мероморфной функции в T2c.
Пусть <р°=0, a I0 принадлежит множеству Пуанкаре возмущенной задачи. Рассмотрим на комплексной плоскости №С замкнутый контур у — границу прямоугольника ABCD (см. ) рис. 66). Здесь T и ІТ' — соответственно действительный и чис-5 to мнимый периоды эллиптических функций /,(/», wlz), mi = і =дН0/дІі. Число т выбрано так, чтобы эти мероморфные функции не имели полюсов на у. Можно показать, что функция I\(t, 0) неоднозначна вдоль контура у [79]. Следовательно, решения возмущенной задачи ветвятся в плоскости комплексно-
26-2 259 го времени и это обстоятельство препятствует появлению нового однозначного интеграла. Д
ІТ
С
А
в
С
!¦Т
Рис. 66
Используя ветвление решений, можно установить отсутствие однозначных аналитических интегралов при малых, но фиксированных значениях параметра е^О (см. [72]).
5.2. Группы монодромнн гамильтоновых систем с однозначными интегралами. Наличие неоднозначных решений можно установить не только с помощью разложений в ряды по степеням малого параметра. Для этой цели А. М. Ляпунов в 1894 г. предложил другой метод, основанный на анализе уравнений в вариациях для известных однозначных решений. Мы уже применяли метод Ляпунова при исследовании аналитических особенностей кратных столкновений в задаче многих тел (см. гл. 2, п. 2.4). В этом пункте мы сперва займемся исследованием линейных гамильтоновых уравнений с голоморфными коэффициентами.
Пусть H=<z,A(t)z>/2 — квадратичная форма относительно г€С2п, А(() — заданная 2пХ2п матрица, коэффициенты которой — голоморфные функции, определенные на некоторой ри-мановой поверхности X. Если, например, элементы матрицы A(t)—мероморфные на С функции, то X — это комплексная плоскость с некоторым количеством выколотых точек (полюсов). Линейные уравнения Гамильтона с функцией H будут иметь вид
Локально при заданном начальном условии z(t0)=Z0 всегда существует однозначно определенное голоморфное решение. Его можно продолжать вдоль любой кривой в X, однако это продолжение в общем случае уже не будет однозначной функцией на X. Ветвление решений линейной системы (31) описывается ее группой монодромии G: каждому элементу а фундаментальной группы ni(Jf) соответствует 2/1X2/1 матрица Ta такая, что после обхода вдоль замкнутых путей из гомотопического класса о значение функции z(t) становится равным Taz(t). Если т —другой элемент группы яі(Х), то Tw=TxTa. Соответствие O1-T0 определяет тем самым гомоморфизм групп Ji1(X)-^G.
