Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
После этого преобразования уравнения движения Луны при нимают следующий вид:4
V = -^+(*2+*/2)-"2. (20)
Они имеют первый интеграл—интеграл Якоби:
гЦіі-V (*,«/) = А-
Легко видеть, что при переходе от ограниченной задачи трех тел к ее предельному варианту — задаче Хилла — исчезают две треугольные и одна коллинеарная точки либрации. Действительно, система уравнений Vx =Vv' = 0 имеет всего два решения (х, у) = (±3_|/3, 0). Области Хилла
[V(x, y)+h^0}
при всех значениях А симметричны относительно осей XH у. Если A^0, то область Хилла совпадает со всей плоскостью. При А<0 граница имеет асимптоты, параллельные оси у: х= = ±(—2/зА)'/2- Вид этих областей зависит от того, будет ли постоянная (—А) больше, равна или меньше единственного критического значения функции V, равного 3/2 31/3. Эти три случая показаны на рис. 19. Для астрономических приложений интерес представляет лишь случай (а) и более того, лишь область, окружающая начало координат.
Рис. 19
Рассмотрим вопросы, связанные с регуляризацией задачи Лилла. Для этого перейдем к новым параболическим координатам по формулам х = |2-т)2, у = 2?т| и сделаем замену времени г*-» т вдоль траекторий:
~ =4 (э2 + т,2).
16-2 Обозначая штрихом дифференцирование по т, запишем уравнения движения в новых переменных:
= т)" +8 ^2+ = VV
V = 4 +4 (I2 + л2) А + 6 (I2 - л2) (I2+ті2). Интеграл энергии примет следующий вид:
l—tj, А)=0.
Эта регуляризация задачи Хилла, предложенная Биркгофом (G. D. Birkhoff) позволяет просто исследовать аналитические особенности решений, соответствующих столкновению Луны с Землей. Предположим, что столкновение происходит в момент времени Z=O и пусть т(0) =0. Тогда, очевидно,
5 = (/8 sin а)т+..., ті=(К8 cos а) т+...; Z=^-t3+...,
где а— постоянная интегрирования. Таким образом, униформи-зующей переменной является новое время т и, как в случае парных столкновений в общей задаче трех тел, решение I(Z)« r\(t) допускает единственное вещественное аналитическое продолжение после момента столкновения.
Как уже отмечалось, для астрономии интерес представляют лишь движения, которые происходят вблизи точки I=tl=O. При больших отрицательных значениях А удобно перейти к новым переменным
Ф=[—2А—3 (g2—л2)2],/2. Ч>=2л[-2А-3 (I2-Ti2)2] "2.
С учетом этой замены интеграл энергии приобретает совсем простой вид
?''+^'+^+^=8.
Это — уравнение трехмерной сферы в четырехмерном фазовом пространстве переменных |', л'» <p, >J>. Поскольку точкам (5. л) и (—I» —л) соответствует одна и та же точка в плоскости (jc, у), то состояния Луны (I', л'» ф. ?) И (—I', —л'» —ф, —?) следует отождествить. В результате мы получили, что при больших отрицательных А интересующая нас связная компонента трехмерного уровня энергии диффеоморфиа трехмерному проективному пространству. Это замечание справедливо, конечно, при всех А<— 3/2^3.
Обсудим в заключение периодические решения задачи Хилла, имеющие важные астрономические приложения. Речь идет о периодических решениях x(t), y(t) вблизи Земли (точки х=у=0) с малым периодом т, орбиты которых симметричны относительно осей хну. Более точно, условия симметрии определяются равенствами
*(-Z) = *(Z)=-^Z + -l), «/(-0=-«/(<)=«/('+?)-
16-2 Следовательно, эти решения надо искать в виде тригонометрических рядов
со л:
JC(0- 2 On(W)COS (211+1) , у (t) = 2 M«)sln(2n+1)-^;
/I—— со — »
Подставляя эти ряды в уравнения движения (20), мы получим бесконечную нелинейную систему алгебраических уравнений относительно бесконечного числа неизвестных коэффициентов. Хилл (1878 г.) показал, что эта система имеет единственное решение по крайней мере при малых значениях т (см. [37], [42]). Значение т0 = 0,08084... для реальной Луны попадает в этот допустимый интервал. Сходимость рядов Хилла доказана А. М. Ляпуновым в 1895 году.
Можно показать, что для коэффициентов ah(rn) справедливы следующие асимптотические разложения:
во = «2'» fl-g- /я+-^ ««-...).
а, 3 о,1 ч , а_, 19 , г» і
^ = 16^+2 ^f=-TG '"'"З'«
^Ж«4 + — -?1=0^'+........
Отсюда видно, что при малых значениях т основной вклад в периодические решения Хилла дают слагаемые
х0(0 = т2'3cos Уо(0 = m2f3Sin
которые представляют закон движения Луны вокруг Земли без учета влияния Солнца. Наличие коэффициента т2/3 является следствием третьего закона Кеплера. Солнце, возмущая систему Земля—Луна, при малых значениях параметра т не разрушает периодические круговые движения задачи двух тел, а лишь слегка их деформирует.
§ 6. Эргодические теоремы небесной механики
6.1. Устойчивость по Пуассону. Пусть (М, S, ц)—полное пространство с мерой; здесь 5 — о-алгебра подмножеств Af, ц — счетно-аддитивная мера на S. Рассмотрим сохраняющий меру автоморфизм g множества М. Множество
Tp=Ugn(P), (P) = P
n?Z
назовем траекторией точки рЄМ, а
Г/= U En(P)-
п> О
ее положительной полутраекторией. 88 Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть ц(Л1)<оо. Тогда для любого измеримого множества положительной меры VeS существует равное ему по мере множество WczV такое, что для всех pGW пересечение Tp П№ состоит из бесконечного множества точек.
