Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Назовем движение r,(t) (l^s^n) устойчивым, если выполнены два условия:
a) ГцЦ)Ф0 для всех значений t и всех іфj (нет столкновений),
b) 1^(01^ (c=Const).
Теорема 2 (Якоби (С. Jacobi)). Если движение устойчиво, то полная энергия A=7*—V отрицательна. < Применим формулу Лагранжа
/=2V + 4A, (11)
где /=SmfTi2 — полярный момент инерции. Если й^О, то I(t). t?R, выпукла вверх и поэтому не может быть ограничена одновременно снизу и сверху. Для завершения доказательства остается воспользоваться тождеством Лагранжа:
Kk
При дополнительном предположении об ограниченности снизу взаимных расстояний (|г,Д/)1 >с>0) из интеграла энергии и формулы Лагранжа (11) вытекает, что вдоль устойчивого движения средние значения
S S
Ига_!_С V{t)dt, lim4-^2T(t)dt
S—OO s J S—OO s J
существуют и равны— 2A>0.
Необходимое условие устойчивости А<0 не является достаточным при п~>2.
2.2. Одновременные столкновения. Когда при t-*-t0 радиус-векторы /ч(0 всех точек имеют один и тот же предел Го, то мы будем говорить, что в момент времени to происходит одновременное столкновение. Очевидно, что точка л0 должна совпадать с центром масс, т. е. г0=0. Одновременное соударение имеет место тогда и только тогда, когда полярный момент I(t) стремится к нулю при t-*-tQ.
16-2 Теорема 3. Если /(t)-*-0 при t-*-to, то постоянный вектор кинетического момента
А'=2/п, (г, X п)
равен нулю.
Для л = 3 это утверждение было уже известно Вейерштрас-су (К. Weierstrass).
J <3 Поскольку при Z-* Z0 функция V(Z)-* +оо, то, согласно уравнению /=2К+4А, при близких к Z0 значениях времени / (Z) > 0. Следовательно, перед столкновением I (Z) монотонно убывает.
Воспользуемся неравенством К2<21Т (из § 1 гл. 1), которое вследствие формулы «Лагранжа эквивалентно неравенству
7 >? + 2А.
Умножим это неравенство на положительное число -2/ и проинтегрируем его в интервале (/t, Z), Z < Z0:
І2 (Z,)-12 (Z) > 2К2 in T^ +4А (/ (Z1) -1 (t)).
Тем более справедливо неравенство
2К2 In 7^ </2 (Z1) + 4| A IZ(Z1)-
Отсюда вытекает существование для /(f) положительной нижней грани в интервале (th to), если ЮфО. <
2.3. Парные столкновения. Будем говорить, что в момент времени to происходит парное столкновение, если расстояние между двумя точками, скажем между тх и mn, стремится к нулю при t-*-t0, а ЕЗаимные расстояния между остальными точками при значениях t, близких к to, ограничены снизу некоторой положительной величиной. Влияние точек т2,..., m„_i на движение Itil и тп при таких t, очевидно, пренебрежимо мало по сравнению с взаимодействием Ini и тп. Поэтому естественно ожидать, что вблизи момента времени to поведение вектора 'in (0 примерно такое же, как и в задаче о столкновении двух тел (см. § 1). В задаче двух тел локально униформизующей переменной была истинная аномалия u(t), пропорциональная интегралу от обратного расстояния между точками. Поэтому в случае парного столкновения естественно пытаться регуляризовать решение с помощью переменной
і о
Можно показать, что это соображение действительно при-
водит к цели: функции rh(u) регулярны вблизи точки U = O
(соответствующей парному соударению) и, кроме того, t(u) —
16-2 —t0=usp(u), где p(-) — функция, голоморфная вблизи ы=0„ причем р(0)ФО. Таким образом, в случае парного столкновения, так же, как в задаче двух тел, координаты точек rh являются голоморфными функциями переменной /1—to и, следова-іельно, допускают единственное вещественной аналитическое продолжение при t>h. Можно показать, что функции r2(t),... •. •, fn-i (0 даже голоморфны в окрестности точки to.
Для того, чтобы упиформизирующая переменная u(i) была пригодной для любой пары точек и для любого момента парного столкновения, (12) следует заменить формулой
u(t) = jv vds-fe fifads.
О U ;<A ' v "
Если полярный кинетический момент отличен от нуля, то в задаче трех тел единственными особенностями могут быть лишь парные столкновения. Как показал Зундман (К. F. Sundman), функции rh(u) (1^6^3) голоморфны в некоторой полосе |Imu|<CO комплексной плоскости ыбС, содержащей действительную ось. Отобразим теперь эту полосу конформно на единичный круг laid преобразованием
пи
е2*+1
переводящим действительную ось —оо<ы<+оо в отрезок —1<ш<1. В результате координаты точек г* станут функциями, голоморфными b круге I (I) I <1, и их мо|жно представить в виде сходящихся степенных рядов новой переменной (I). Эти ряды представляют движение трех тел при всех значениях времени t ОТ -OO до +оо".
Этот результат принадлежит Зундману (1913 г.); он следовал более ранним работам Пуанкаре и Вейерштрасса, в которых были получены разложения решений задачи п тел в сходящиеся ряды по степеням вспомогательной переменной (і) при отсутствии соударений. Что касается возможности соударений, то в задаче трех тел они бесконечно редки: с помощью теоремы об одновременных столкновениях и с использованием регуляризации парных столкновений можно показать, что в двенадцатимерном пространстве состояний задачи трех тел (при фиксированном положении центра масс) траектории столкновений лежат на некоторых особых аналитических поверхностях размерности 10.. Их мера, конечно, равна нулю. Однако неизвестно, могут ли эти особые поверхности всюду плотно заполнять целые области в пространстве состояний.
