Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
¦> Ряды по степеням о) совершенно бесполезны для практических расчетов ввиду их крайне медленной сходимости.
15-1
73 Приведем в заключение в качестве иллюстрации результаты численных расчетов в «пифагорейском» варианте задачи трех тел, когда тела с массами 3, 4, 5 в начальный момент покоятся в точках плоскости (х, у) с координатами (1,3), (—2, —1), (1, —1). Центр масс этой системы находится в начале координат.
Расчеты пифагорейской задачи трех тел были начаты Бур-ро (С. Burrau) еще в 1913 году и продолжены в наше время Себехеем (V. Szebehely) с использованием быстродействующих ЭВМ. На рис. 12—14 можно видеть и тесные сближения точек, и их парные соударения, и распад тройной системы. Рис. 15 показывает «финальное» движение: точка массы т = 5 удаляется по прямой от «двойной звезды», которую образуют точки т = 3 и т = 4, периодически сталкиваясь друг с другом. Интересно отметить, что хотя в этом случае кинетический момент равен нулю, однако тройные столкновения отсутствуют.
9< O0 ft t I * Іг і і
, я» --"ST--H^: / / 5/
. -л ^
Si-«___0 5 о—— "" 0 1 sh -,j] ї? \ і \ \/Щ7 >< \* і „ O >и і ^8 5
Рис. 12. Движение притягивающихся масс в пифагорейской задаче трех тел в интервала времени от /=O до / = 10.
2.4. Особенности решений задачи п тел. Особые точки координат rt граветирующих точек как функций времени в случае кратных столкновений, когда происходит одновременное соударение 3 точек, с аналитической точки зрения устроены гораздо сложнее. Они, вообще говоря, не алгебраические; более того, функции r,(t) (l^s^ln) не имеют вещественного аналитического продолжения после момента соударения.
Это можно показать уже на примерах одновременного соударения в задаче трех тел. Оказывается, при произвольных
16-2 so'
¦J«
і,
/ 4W
УД
T \
\ \ ¦К Чі а і • \ ПЛі \ . M . f
» г * M * v,
¦?/ / / / / IN M » \
/ / k «1 t
/ «/ t »
чв/ $ ф -
Рис. 13. Вид орбит пифагорейской задачи трех тел на интервале времени от <=40 до <=50.
значениях масс точек ти т2, тз существуют решения
OO
мо=*2/з2а«»<ат- (13)
in—О
Положительное число а является непостоянной алгебраической функцией масс mt, m2i m3, а среди коэффициентов ац не все равны нулю. В момент времени f = 0 имело место тройное столкновение. В типичном случае, когда а иррационально, ряд (13) имеет при <=0 изолированную логарифмическую особую точку. В частности, это решение, являясь вещественным при •/>0, имеет бесконечно много различных аналитических ветвей при /<0, однако все эти ветви оказываются комплексными.
Решение (13) найдено Блоком (Н. Block) (1909 г.) и Шази (I. F. Chazy) (1918 г.) с помощью следующего приема. При всех значениях масс уравнения задачи трех тел допускают «томографическое» решение, при котором треугольник, образованный телами, все время остается подобным самому себе. Это решение аналитически представляется формулсмі
МО=а>о2/3 (1<«<3). (14)
10-2
75 Рис. 14. Эволюция орбиг пифагорейской Рис. 15. Образование двойной задачи-трех тел на !інтервале времени от звезды в ппфлгиренской задаче / = 50 до / = 60. трех тел (от / = 60 до / = 70).
Среди характеристических корней уравнения в вариациях для этого решения имеется отрицательное число (—а). Согласно известным результатам Ляпунова—Пуанкаре, уравнения движения имеют решение (13), асимптотическое к решению (14). Отметим, что метод Блока—Шаэи уже раньше применялся А. М. Ляпуновым для доказательства неоднозначности решений уравнений вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как функций комплексного времени (1894 г.).
Рассмотрим определенное решение задачи трех тел rk(t). Пусть в начальный момент to все гікФ0 (\Фк). Проследим это решение при Ot0. Возможны три случая:
(a) ни при каком f>t0 нет столкновений, тогда это движение совершается без особенностей до момента t= +оо,
(b) в некоторый момент ti>t0 происходит аналитически продолжаемое столкновение,
(c) в некоторый момент происходит непродолжаемое столкновение.
16-2 Пусть имеет место случай (Ь). Тогда при t>tі снова возможен один из вариантов (а) — (с). Продолжая этот процесс, мы можем после конечного числа шагов либо прийти к случаю (а) или (с), либо будем иметь бесконечное число продолжаемых столкновений, происходящих в некоторые моменты времени h, t2,... Л,... Можно показать, что при п = 3 в последнем случае
Iim tk= -f 00.
к-. оо
В задаче тел возможен, однако, принципиально иной тип особенностей. Уже в задаче о четырех точках на прямой существуют движения, при которых за конечное время U происходит бесконечное число двойных столкновений. Причем в итоге при t-yto три тела уходят в бесконечность: одно в одну сторону, а два других — в другую, как в пифагорейской задаче трех тел. Однако в отличие от случая трех тел, сталкивающиеся тела неограниченно сближаются друг с другом, что и дает энергию для ухода в бесконечность за конечное время. Четвертое тело осциллирует между ними. Когда осциллирующее тело подходит близко к двум сближающимся, то происходит почти что тройное соударение. Существование такого движения доказал Дж. Мезер (J. Mather) с помощью регуляризации Мак-Ге-хн (R. McGehee) одновременного соударения в задаче трех тел (см. [172]).
