Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Кинетическая энергия системы «тело+жидкостъ» имеет тот же вид (49), только к А надо добавить момент инерции тела относительно оси де, а к В и С надо добавить массу тела. В итоге при е-»-0 величины А и В будут стремиться к конечным пределам, а С-»-оо. Таким образом, мы находимся в условиях теоремы: при є-vO движение эллиптической пластинки с начальной скоростью U(O)=O будет стремиться к движению предельной вакономной системы.
6.5. Присоединенные массы и анизотропное трение. Рассмотрим многомерную натуральную механическую систему с лагранжианом
Ln = { (A(q)q.'q) + 2g-(a(q)-qr + V (q).
Предположим, что, кроме потенциальных сил с силовой функ* цией V, на систему действуют силы анизотропного трения с вдС* сипативной функцией Рэлея
58 Уравнение движения имеет вид уравнения Лагранжа
м—K9 -
Фиксируя значения параметров а>0, ?>0, устремим N к бесконечности.
Пусть q(t, iV)—решения уравнения движения с не зависящим от N начальным состоянием, удовлетворяющим уравнению a-'q=0.
Теорема 12 (см. [84]). При N-*-ж иа каждом конечном промежутке времени существует предел
limq(і, N)=q(t).
Л/->оо
Предельное движение q(-) вместе с некоторой «сопряженной» функцией р(-) удовлетворяет дифференциальным уравнениям
дН A-1Pa • дН ? /сП.
где H (р, q) — функция Гамильтона вакономной системы с лагранжианом L0 и со связью a-'q=0.
Из второго уравнения (50) следует, что предельное движение q(-) удовлетворяет уравнению a-'q=0.
При ?=0 теорема 12 совпадает с теоремой 11. В другом предельном случае, когда отношение (i=?/a велико, уравнения (50) будут сингулярными. Следуя общему методу исследования таких уравнений, при а = 0 из (50) получим «упрощенное» уравнение
к== A-'pa^Q А-'а-а
Дифференцируя уравнения Aq=p — hi по времени и учитывая условие X=O, будем иметь
(L'0-v)'=(Aq)'=р—'%а—%а=— Hrq—ia= L0q—\л.
Это соотношение вместе с уравнением связи являются замкнутой системой неголономных уравнений. Используя теорему Тихонова, можно показать, что при ц->-|-оо решения' уравнений (50) действительно стремятся к решениям неголономных уравнений.
При каждом фиксированном значении параметра ц уравнения (50) можно рассматривать как уравнения движения механической системы с функцией Лагранжа L0 и оо связью a-q = = 0. Таким образом, мы имеем целое семейство внутренне непротиворечивых математичеоких моделей движения. Каждая из них является синтезом традиционной неголономной механики, основанной на принципе Даламбера—Лагранжа, и вакономной динамики, в основу которой положен вариационный принцип
3-1 59 Гамильтона. Вопрос о выборе модели в каждом конкретном случае может быть решен только с помощью экспериментов. Обсуждение этих вопросов можно найти в работе [84].
6.6. Малые массы. В заключение обсудим корректность обобщенного гамильтонова формализма Дирака. Как уже отмечалось (см. § 5), связи в фазовом пространстве появляются, например, в том случае, когда лагранжиан вырожден по скоростям. В связи с этим мы рассмотрим голономную систему с функцией Лагранжа
Le = L0 (q, q, Q) + (q, q, Q, є); qZR", QeR,
где є —малый параметр. Функция L0 предполагается невырожденной по q.
При є = 0 будем иметь вырожденную систему. Первичной связью (по Дираку) служит уравнение P = 0, где P=Lxtq-, Условие совместности дает нам вторичную связь
{Р, H0)= -Noq = O, (51)
где Н0(р, q, Q) = P- q -L0
Предположим, что Q=fip,q)— решение уравнения (51). После этого вторичную связь можно представить в виде уравнения xV=Q-Kp, q) =0, причем {Р, ?} = —1^=0.
Гамильтониан Дирака 36 является суммой н0+хр+ +|i(Q—/); коэффициенты Я, и ц однозначио найдутся из условий совместности
{Р, Щ = {Р, //о}-:.1=0, {Q —/, Щ = -{/, H0)=
Отсюда получаем, что u=— Hoq, %={Н0, /}. Уравнения Гамильтона со связями, очевидно, примут следующий вид:
P=-Hoq, q = H0p, P = 0, Q = f, (52)
где Н0(р, q) = H0(p., q, Q)\Q=f. Функция Гамильтона полной системы (при е=^0) равна Н0(р, q, Q) + P2/2s-\-eHl(p, q, Q, в). Соответствующие канонические уравнения суть
P=—H0q — а H\q, q = H0p-\-uHip, (53)
P= -H0Q-BH1Q, Q=PlB.
Предложение 16. Если #о"<?<?|<?-гфО, то уравнения (53) допускают единственное решение в виде формальных рядов по степеням є
p=Po(t)+^Pi(t)+.... q=qo(t)+uh(t)+..., P=BP1 (t)+..., Q = f(p0 (t), q0 (0) + eQ, it) + ..., где Po(0> Qo(0—наперед заданное решение уравнений (52). К сожалению эти ряды не всегда сходятся. В случае, когда
60 функция Но не зависит от Q, уравнения (53) перестают быть сингулярными: вместо импульса P следует взять новую переменную Р/г. Решения этих уравнений можно тогда представить в виде сходящихся степенных рядов, причем начальные условия Q(O) и 0(0) могут быть произвольными. Именно так обстоит дело в «ограниченной» задаче п тел, когда масса одного из них стремится к нулю.
Таким образом, механику Дирака можно трактовать как механику малых масс. В противоположность этому, вакономная механика, наоборот, удобна для описания динамики больших масс.
Утверждения этого параграфа могут служить мотивировкой наших теоретических построений, касающихся динамики механических систем со связями.
