Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
t = u3f (и),
где f — аналитическая функция в окрестности нуля, причем /(O)=JtO. Из (6) вытекает аналогичное представление
X = u2g(u)
с аналитической функцией g и g(0)#0. Исключая из этих формул экцентрическую аномалию и, получим разложение Пю-изе (V. A. Puiseux):
X(t) = (Vt? 2 Cn(Vt)".
л-0
Коэффициенты с„ с нечетными номерами, очевидно, равны нулю, а со#0. Следовательно, x(t)—четная функция времени, т. е. движущаяся точка отражается от притягивающего центра после столкновения. Если переменные * и t рассматривать как комплексные, то t — 0 является алгебраической точкой разветвления аналитической функции x(t). В точке столкновения * = 0 сходятся три листа ее римановой поверхности,
11 «Заметим, что основным толчком, приведшим Коши к открытиям в теории функций комплексного переменного, послужило его желание провести удовлетворительный анализ именно ряда Лагранжа» (Уннтпер [42]).
16-2 причем действительные значения x(t) при *>0 и t<О лежат только на одном листе. Следовательно, функция x(t) допускает единственное вещественное продолжение".
В заключение отметим результат Болина (К. Bohlin), касающийся регуляризации задачи двух тел в общем эллиптическом случае (когда А<0).
Вводя комплексное переменное z=x+iy, уравнение задачи Кеплера перепишем в следующем виде:
а интеграл энергии
У*
Z 1*1"
т '-А. (7)
2 ! г I
Сделаем замену независимой переменной z-*-w и времена t-+T по формулам
Z=W2, (8)
Запишем уравнение (7) в новых переменных w, т:
i^-4Y+4A|e»|. (9)
Отсюда ш"+8|А|ю=0. Это уравнение описывает колебания гармонического осциллятора. Таким образом, нелинейное отображение (8) переводит орбиты задачи Кеплера с постоянной энергией А<0 в орбиты гармонического осциллятора, расположенные на энергетическом уровне (9). Этот вывод удачно дополняет теорему Бертрана.
Регуляризирующая переменная т линейно зависит от эксцентрической аномалии и. Действительно, так как |z|=r=a(l — ecosa) и nt—u — esinu,
то
du__п _па
Hk 1—ecosu г '
откуда и = 4пат.
1.4. Геометрия задачи Кеплера. Мозер (J. Moser) заметил, что с помощью подходящей замены времени фазовый поток кеплеровой задачи можно преобразовать в геодезический поток на поверхности постоянной кривизны. При изложении этого результата мы будем следовать Ю. С. Осипову (УМН, 1972, 27 в. 2, 161).
Лемма 1. Пусть x{t)—решение гамильтоновой системы с гамильтонианом Н(х), расположенное на уровне Я = 0. Сделаем замену времени х вдоль траекторий по формуле di/dt= = G'1(x)^0. Тогда функция х(х) =х(((т)) является решением гамильтоновой системы (в той же симплектической струк-
" Регуляризация столкновений в задаче двух тел восходит к Эйлеру.
16-2 туре) с гамильтонианом H = HG. Если G = 2(H+a), то можно положить H= (Н+а)2.
Запишем гамильтониан задачи Кеплера в обозначениях п. 1.3: H = \р\2/2—y|z|. р — г- Сделаем замену времени х'= = |z|_1 на многообразии H = h (ср. с формулой (8)). Согласно лемме 1, это соответствует переходу к функции Гамильтона \г\(H—h) = |z| (|р|2—2Л)/2—у. Сделаем еще одну замену времени Tt-'т, d'x/dT = 2(\z\(H—h)+у) на том же уровне H = h. В итоге будем иметь гамильтонову систему с функцией Гамильтона
H=\z\2(\p\2-2h)2/4. Выполним, наконец, преобразование Лежандра, считая р — координатой, а г — импульсом. В результате получим натуральную систему с лагранжианом
Эта функция задает риманову метрику постоянной гауссовой кривизны (положительной при Л<0 и отрицательной при А>0). В случае Л<0 геодезические метрики (10) (определенной при всех p?R2) являются образами больших кругов сферы при стереографической проекции, а в случае Л>0 (метрика определена в круге |р|2<2Л) геодезические являются прямыми плоскости Лобачевского (в модели Пуанкаре).
Замечание (А. Б. Гивенталь). Пусть плоскость (х, у) — конфигурационная плоскость кеплеровой задачи с лагранжианом L= (х2-\-у2)/2+ 1/Ух2+у2. Рассмотрим в пространстве (х, у, г) прямой круговой конус г2= (х2+у2) и семейство вписанных в него параболоидов вращения z=(x2+y2)/4а + а (а — параметр). Под «проекцией» мы будем понимать проекцию пространства (х, у, г) на плоскость (х, у) вдоль оси г. Можно показать, что
1) траектории задачи Кеплера — проекции плоских сечений конуса (в частности, вершина конуса — фокус проекций его плоских сечений),
2) траектории с одинаковым значением полной энергии — проекции сечений конуса плоскостями, касающимися одного и того же параболоида,
3) траектории с одинаковым значением кинетического момента — проекции сечений конуса плоскостями, проходящими через одну и ту же точку оси.
§ 2. Столкновения и регуляризация
2.1. Необходимое условие устойчивости. Обратимся теперь к общей задаче п тел, в которой п материальных точек (ти M..-., (тп, г„) притягиваются друг к другу по закону все-
16-2 мирного тяготения. Кинетическая энергия
Т = -2 2 m,r2i,
а силовая функция
j<k I*
всегда положительна. Введем инерциальную систему отсчета с началом в центре масс и пусть Ti — радиус-векторы точек в новой системе отсчета. Уравнения задачи п тел будут иметь вид уравнений Лагранжа с лагранжианом L = T-1-V.
